Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 34/latex

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\setcounter{section}{34}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x-5y-3z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, aufgefasst als \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} nur zwei \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} besitzt, nämlich den Nullraum $0$ und sich selbst.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die folgenden Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{ \Q^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} sind. \aufzaehlungacht{
\mathl{\{0\}}{,} }{
\mathl{\Q_{\geq 0} \times \Q_{\geq 0}}{,} }{Der Graph der linearen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{7x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{Das Quadrat
\mathl{[0,1] \times [0,1 ]}{,} }{
\mathl{\Z \times \Z}{,} }{Die Vereinigung aus der $x$-Achse und der $y$-Achse \zusatzklammer {das \stichwort {Achsenkreuz} {}} {} {,} }{
\mathl{\Q \times 0}{,} }{Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4x-9y }
{ = }{11 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe sämtliche \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} des $\Q^2$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge $\Q^2$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert. \aufzaehlungdrei{Man gebe zu zwei Punkten \mathkor {} {(a_1,a_2)} {und} {(b_1,b_2)} {} die Koordinaten des Mittelpunktes an. }{Es seien in der Produktmenge $\Z^2$ fünf Punkte gegeben \zusatzklammer {jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten} {} {.} Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss. }{Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} insbesondere eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} des $K^n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_k \in K^n}{} Vektoren und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { { \left\{ \sum_{i =1}^k s_i v_i \mid s_i \in K \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $U$ ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des $K^n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten im $\Q^3$ die \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\-1\\ 11 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 3 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Im $K^n$ seien zwei Vektoren
\mathl{u,v}{} gegeben und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \langle u,v\rangle }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der von den beiden Vektoren erzeugte \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die Vektoren
\mathl{u,v}{} genau dann eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $U$ bilden, wenn weder $u$ ein Vielfaches von $v$ noch $v$ ein Vielfaches von $u$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{U_1 , \ldots , U_r \subseteq K^n}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{U_1 \cap \ldots \cap U_r}{} ebenfalls ein Untervektorraum ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x -6 y -5 z & = & 0 \\ x +7 y +4 z & = & 0 \, \end{matrix}} { }
über $\Q$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 & -4 \\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} { \begin{pmatrix} -3 \\-7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des Lösungsraums des \definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M v }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M v }
{ = }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x+5y }
{ =} {-4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien im $K^2$ zwei Geraden \mathkor {} {G} {und} {H} {} in Gleichungsform durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{rx+sy }
{ =} {d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{G \cap H}{} der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt: \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G \cap H }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\Q$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }

}
{} {}

Vorlage:Inputaufga




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel \zusatzklammer {in Abhängigkeit von $n$} {} {} für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die beiden Mengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \R^3 \mid -3x+2y-6z = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \R^3 \mid 7x-5y-4 z = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ \defeq} {E \cap F }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \R^3 \mid -3x+2y-6z = 0 \text{ und } 7x-5y-4 z = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} wie in Beispiel 34.13.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Im $\R^3$ seien die beiden Untervektorräume
\mathdisp {U= { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }} { }
und
\mathdisp {V = { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }} { }
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,0)} {} {(0,1,2)} {und} {(2,3,4)} {} liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Erstelle ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{,} dessen Lösungsraum die Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -1 \end{pmatrix} \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Ein \definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{} sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+y }
{ \leq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3punktsmodell.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 3punktsmodell.svg } {} {Indolences} {Commons} {gemeinfrei} {.}

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x+b_1y }
{ \geq} {c_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_2x+b_2y }
{ \geq} {c_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_3x+b3y }
{ \geq} {c_3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung $\geq$ durch $\leq$ ersetzt?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten im $\Q^4$ die \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\1\\ -5\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\-2\\ 4\\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3\\2 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 6 \\-1\\ 2\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\-2\\ -2\\-7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\2\\ -1\\10 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & -7 & 8 \\ 5 & 9 & -3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des Lösungsraums des \definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M v }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M v }
{ = }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2x+9y }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte im $\R^3$ die beiden Ebenen
\mathdisp {E = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 3x+4y+5z = 2 \right\} } \text{ und } F = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x-y+3z = -1 \right\} }} { . }
Bestimme die Schnittgerade $E \cap F$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,2)} {} {(4,-3,2)} {und} {(2,1,-1)} {} liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{

Ein \definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{} sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y }
{ \leq} {-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x }
{ \geq} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

}
{} {}


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