Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 34

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung




Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass ein Körper , aufgefasst als Vektorraum, nur zwei Untervektorräume besitzt, nämlich den Nullraum und sich selbst.


Aufgabe

Bestimme, ob die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.

  1. ,
  2. ,
  3. Der Graph der linearen Funktion ,
  4. Das Quadrat ,
  5. ,
  6. Die Vereinigung aus der -Achse und der -Achse (das Achsenkreuz),
  7. ,
  8. Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung .


Aufgabe

Beschreibe sämtliche Untervektorräume des .


Aufgabe *

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

  1. Man gebe zu zwei Punkten und die Koordinaten des Mittelpunktes an.
  2. Es seien in der Produktmenge fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
  3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?


Aufgabe

Zeige, dass ein Untervektorraum insbesondere eine Untergruppe des ist.


Aufgabe

Es seien Vektoren und sei

Zeige, dass ein Untervektorraum des ist.


Aufgabe

Wir betrachten im die Untervektorräume

und

Zeige .


Aufgabe *

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung


Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems


Aufgabe

Im seien zwei Vektoren gegeben und es sei der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum. Zeige, dass die Vektoren genau dann eine Basis von bilden, wenn weder ein Vielfaches von noch ein Vielfaches von ist.


Aufgabe

Es seien Untervektorräume. Zeige, dass der Durchschnitt ebenfalls ein Untervektorraum ist.


Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

über .


Aufgabe

Es sei

und

  1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems .
  2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.


Aufgabe *

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Aufgabe

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Aufgabe *

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe

Es seien im zwei Geraden und in Gleichungsform durch

bzw.

gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.


Aufgabe

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.


Aufgabe *

  1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
  3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
  4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.


Vorlage:Inputaufga

Aufgabe *

Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.


Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen

und

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

wie in Beispiel 34.13.


Aufgabe *

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Aufgabe *

Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte .


Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte

liegen.


Aufgabe

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

ist.


Aufgabe

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.


Aufgabe

3punktsmodell.svg

Es sei

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung durch ersetzt?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im die Untervektorräume

und

Zeige .


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei

und

  1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems .
  2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte im die beiden Ebenen

Bestimme die Schnittgerade .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte

liegen.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.



<< | Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)