Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {589} {und} {837} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {116901} {und} {138689} {.}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Flying-kangaroo.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gurru springt 8 Meter} }
\bildlizenz { Flying-kangaroo.jpg } {} {PanBK} {en Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Das Riesenkänguru Gurru und das Zwergkänguru Gurinu leben entlang des australischen Highways, ihr Schlafplatz liegt am Beginn des Highways \zusatzklammer {$0$ Meter} {} {.} Gurru legt bei jedem Sprung $8$ Meter zurück, Gurinu nur $6$ Meter. Charakterisiere die Streckenmeter, an denen sie sich begegnen können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $n$ eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {n} {und} {n+1} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{a,m,n}{}
\definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{\operatorname{ggT} (a^m,a^n)}{.}
} {Bestimme
\mathl{\operatorname{kgV} (a^m,a^n)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite \mathkor {} {255} {und} {561} {} \zusatzklammer {in Zentimeter} {} {} machen, Fredo kann Sprünge der Weite \mathkor {} {357} {und} {595} {} machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System
\zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {} {,}
ob $n$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $k \geq 2$ eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{}
mit der folgenden Eigenschaft: Sobald $k$ ein Produkt
\mathl{ab}{} teilt, teilt $k$ bereits einen Faktor.
Zeige, dass $k$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige durch Induktion nach $n$, dass wenn $p$ ein Produkt von $n$ Zahlen teilt, dass $p$ dann schon eine der Zahlen teilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $a$ und $b$ \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{,} deren Produkt $ab$ von einer natürlichen Zahl $n$ geteilt werde. Die Zahlen \mathkor {} {n} {und} {a} {} seien \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass $b$ von $n$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $r$ und $s$
\definitionsverweis {teilerfremde Zahlen}{}{.}
Zeige, dass jede Lösung
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rx+sy
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ = }{ v(s,-r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
\aufzaehlungfuenf{$n$ ist negativ.
}{$n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von
\mathl{-16}{.}
}{$n$ ist kein Vielfaches von
\mathl{36}{.}
}{$n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von
\mathl{125}{.}
}{In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist.
}
Was ist $n$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl.
\aufzaehlungzwei {Bestimme den
\definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{}
von
\mathkor {} {(n!)^2} {und} {(n-1)! \cdot (n+1)!} {.}
} {Bestimme das
\definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{}
von
\mathkor {} {(n!)^2} {und} {(n-1)! \cdot (n+1)!} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Exponenten zu $2$ von
\mathl{203264}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\maabbeledisp {\nu_p} {\Z \setminus \{0\}} { \N
} {n} { \nu_p(n)
} {,}
der zugehörige
$p$-\definitionsverweis {Exponent}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Zahl $p^{\nu_p(n)}$ ist die größte Potenz von $p$, die $n$ teilt.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\nu_p( m \cdot n)
}
{ =} { \nu_p( m ) + \nu_p( n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\nu_p( m + n)
}
{ =} { \operatorname{min}( \nu_p( m ) , \nu_p( n) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m+n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorausgesetzt} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte
\mathl{i \cdot j}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{ i,j
}
{ \leq }{ 9
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stehen. Bestimme die
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_n$ das
\definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{}
der Zahlen
\mathl{1,2,3 , \ldots , n}{.}
a) Bestimme $a_n$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4,5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ =} {a_{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
c) Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ =} {a_{n+1}
}
{ =} {a_{n+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeiche $T(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von $n$. Zeige die folgenden Aussagen über $T(n)$.
a) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
von $n$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T(n)
}
{ =} {(r_1+1) (r_2+1) \cdots (r_k+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Für teilerfremde Zahlen $n$ und $m$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T(nm)
}
{ = }{T(n)T(m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme die Anzahl der Teiler von $20!$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde unter den Zahlen $\leq 100$ diejenigen Zahlen mit der maximalen Anzahl an Teilern. Wie groß ist diese Anzahl?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}
b) Berechne den
\definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{}
der ganzen Zahlen
\mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{a,b \in \N_+}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^b
}
{ =} {b^a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist oder wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {oder umgekehrt} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch $4$ den Rest $1$ besitzen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \{1,5,9,13,17, { \ldots } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man $441$ innerhalb von $M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in $M$ nicht weiter zerlegbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüp\-fungen \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(a,b)} { {\operatorname{GgT} \, \left( a , b \right) } } {} und \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(a,b)} { {\operatorname{KgV} \, \left( a , b \right) } } {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt \zusatzklammer {der größte gemeinsame Teiler von $0$ und $0$ sei als $0$ festgelegt} {} {.} }{Zeige, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt \zusatzklammer {das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $0$ sei als $0$ festgelegt} {} {.} }{Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen \zusatzklammer {mit dem GgT als Addition} {} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{} vorliegt. }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {3277} {und} {10057} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass $p$ den
\definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
\mathl{\binom { p } { k }}{} für alle
\mathl{k=1 , \ldots , p-1}{}
\definitionsverweis {teilt}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $a$, $b$ und $r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit
\mathl{a^r {{|}} b ^r}{} die Teilbarkeit
\mathl{a {{|}} b}{} impliziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ = }{ 3049200
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 7567560
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die kanonischen Primfaktorzerlegungen von
\mathkor {} {m} {und} {n} {.}
}{Bestimme die Primfaktorzerlegung des
\definitionsverweis {größten gemeinsamen Teilers}{}{}
von
\mathkor {} {m} {und} {n} {.}
}{Bestimme die Primfaktorzerlegung des
\definitionsverweis {kleinsten gemeinsamen Vielfachen}{}{}
von
\mathkor {} {m} {und} {n} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Finde unter den Zahlen $\leq 1000000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
}
{} {}