Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 34/latex
\setcounter{section}{34}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{}
der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x-5y-3z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, aufgefasst als \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} nur zwei \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} besitzt, nämlich den Nullraum $0$ und sich selbst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob die folgenden Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ \Q^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
sind.
\aufzaehlungacht{
\mathl{\{0\}}{,}
}{
\mathl{\Q_{\geq 0} \times \Q_{\geq 0}}{,}
}{Der Graph der linearen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{7x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Das Quadrat
\mathl{[0,1] \times [0,1 ]}{,}
}{
\mathl{\Z \times \Z}{,}
}{Die Vereinigung aus der $x$-Achse und der $y$-Achse
\zusatzklammer {das \stichwort {Achsenkreuz} {}} {} {,}
}{
\mathl{\Q \times 0}{,}
}{Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4x-9y
}
{ = }{11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe sämtliche \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} des $\Q^2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu je zwei Punkten in der Produktmenge $\Q^2$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert. \aufzaehlungdrei{Man gebe zu zwei Punkten \mathkor {} {(a_1,a_2)} {und} {(b_1,b_2)} {} die Koordinaten des Mittelpunktes an. }{Es seien in der Produktmenge $\Z^2$ fünf Punkte gegeben \zusatzklammer {jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten} {} {.} Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss. }{Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
insbesondere eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
des $K^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_k \in K^n}{} Vektoren und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { { \left\{ \sum_{i =1}^k s_i v_i \mid s_i \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $U$ ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten im $\Q^3$ die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\-1\\ 11 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 3 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{}
der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Im $K^n$ seien zwei Vektoren
\mathl{u,v}{} gegeben und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \langle u,v\rangle
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der von den beiden Vektoren erzeugte
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Vektoren
\mathl{u,v}{} genau dann eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$ bilden, wenn weder $u$ ein Vielfaches von $v$ noch $v$ ein Vielfaches von $u$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{U_1 , \ldots , U_r \subseteq K^n}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{U_1 \cap \ldots \cap U_r}{} ebenfalls ein Untervektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{matrix}
3 x
-6 y
-5 z & = & 0 \\
x
+7 y
+4 z & = & 0 \,
\end{matrix}} { }
über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 & -4 \\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { \begin{pmatrix} -3 \\-7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des Lösungsraums des
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M v
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M v
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x+5y
}
{ =} {-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien im $K^2$ zwei Geraden
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
in Gleichungsform durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{rx+sy
}
{ =} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{G \cap H}{} der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G \cap H
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\Q$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel \zusatzklammer {in Abhängigkeit von $n$} {} {} für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die beiden Mengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \R^3 \mid -3x+2y-6z = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \R^3 \mid 7x-5y-4 z = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ \defeq} {E \cap F
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} \in \R^3 \mid -3x+2y-6z = 0 \text{ und } 7x-5y-4 z = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wie in
Beispiel *****.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Im $\R^3$ seien die beiden
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,0)} {} {(0,1,2)} {und} {(2,3,4)} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{,}
dessen Lösungsraum die Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -1 \end{pmatrix} \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+y
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3punktsmodell.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 3punktsmodell.svg } {} {Indolences} {Commons} {gemeinfrei} {.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x+b_1y
}
{ \geq} {c_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_2x+b_2y
}
{ \geq} {c_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_3x+b3y
}
{ \geq} {c_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung $\geq$ durch $\leq$ ersetzt?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten im $\Q^4$ die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\1\\ -5\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\-2\\ 4\\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3\\2 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 6 \\-1\\ 2\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\-2\\ -2\\-7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\2\\ -1\\10 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & -7 & 8 \\ 5 & 9 & -3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des Lösungsraums des
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M v
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M v
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2x+9y
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte im $\R^3$ die beiden Ebenen
\mathdisp {E = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 3x+4y+5z = 2 \right\} } \text{ und } F = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x-y+3z = -1 \right\} }} { . }
Bestimme die Schnittgerade $E \cap F$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,2)} {} {(4,-3,2)} {und} {(2,1,-1)} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y
}
{ \leq} {-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x
}
{ \geq} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
}
{} {}