Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 34
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Zeige, dass ein Körper , aufgefasst als Vektorraum, nur zwei Untervektorräume besitzt, nämlich den Nullraum und sich selbst.
Aufgabe
Bestimme, ob die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.
- ,
- ,
- Der Graph der linearen Funktion ,
- Das Quadrat ,
- ,
- Die Vereinigung aus der -Achse und der -Achse (das Achsenkreuz),
- ,
- Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung .
Aufgabe
Beschreibe sämtliche Untervektorräume des .
Aufgabe *
Zu je zwei Punkten in der Produktmenge gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.
- Man gebe zu zwei Punkten und die Koordinaten des Mittelpunktes an.
- Es seien in der Produktmenge fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
- Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?
Aufgabe
Zeige, dass ein Untervektorraum insbesondere eine Untergruppe des ist.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe *
Es sei ein Körper und
ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
Aufgabe
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung
Aufgabe
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
Aufgabe
Im seien zwei Vektoren gegeben und es sei der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum. Zeige, dass die Vektoren genau dann eine Basis von bilden, wenn weder ein Vielfaches von noch ein Vielfaches von ist.
Aufgabe
Es seien Untervektorräume. Zeige, dass der Durchschnitt ebenfalls ein Untervektorraum ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei
und
- Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems .
- Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.
Aufgabe *
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
im gegebene Gerade.
Aufgabe
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
im gegebene Gerade.
Aufgabe *
Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.
Aufgabe
Es seien im zwei Geraden und in Gleichungsform durch
bzw.
gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:
- Es ist .
- Es ist .
- Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.
Aufgabe
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
Aufgabe *
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.
Aufgabe *
Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.
Aufgabe
Wir betrachten die beiden Mengen
und
Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt
wie in Beispiel 34.13.
Aufgabe *
Im seien die beiden Untervektorräume
und
gegeben. Bestimme eine Basis für .
Aufgabe *
Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
Bestimme sämtliche Punkte .
Aufgabe
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte
liegen.
Aufgabe
Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
ist.
Aufgabe
Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen
gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
Aufgabe
Es sei
ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung durch ersetzt?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Es sei
und
- Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems .
- Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
im gegebene Gerade.
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte im die beiden Ebenen
Bestimme die Schnittgerade .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte
liegen.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
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