Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 43/latex
\setcounter{section}{43}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme
\mathdisp {[-3, 2] \, \cap \, ] -2, 3 [} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem angeordneten Körper $K$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ \leq} { b-a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Schreibe die Menge
\mathdisp {]-3,-2[ \, \cup \, \{7\} \, \cup \, { \left( [- { \frac{ 5 }{ 2 } } , - { \frac{ 1 }{ 3 } } ] \, \setminus \, ] - { \frac{ 4 }{ 3 } }, -1 ] \right) } \, \cup \, [1, { \frac{ 7 }{ 3 } } ] \, \cup \, [- { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 6 }{ 5 } } [ \, \cup \, { \left( \, ]-7,-6] \cap \R_+ \right) }} { }
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Durchschnitt von zwei \definitionsverweis {abgeschlossenen Intervallen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $I_1,I_2$
\definitionsverweis {Intervalle}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_1 \cap I_2
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Vereinigung
\mathl{I_1 \cup I_2}{} wieder ein Intervall ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
mit den Intervallgrenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es in $I$ eine rationale Zahl gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
mit den Intervallgrenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es in $I$ unendlich viele rationale Zahlen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$. Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - x \in [a,b] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Intervall.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ x\in K \mid x^{-1} \in [a,b] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Intervall.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
Abbildung
\maabbdisp {} {[0,1]} { [a,b]
} {}
gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und seien
\mathl{x,y}{} verschiedene Punkte aus $K$. Zeige, dass es
\definitionsverweis {Intervalle}{}{}
\mathkor {} {I_1} {und} {I_2} {}
mit positiver Länge, mit
\mathl{x \in I_1}{,}
\mathl{y \in I_2}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_1 \cap I_2
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Intervalle}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 4x-3 }
}
{ <} { \betrag { 2x-3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ x-2 }{ 3x-1 } } }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $7$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ zum Startwert $x_0=1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Glieder $x_1,x_2$ der
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startglied
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Finde ganze Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a+b \sqrt{3} }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{c \in K_+}{} ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert $x_0$. Für ein Folgenglied gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ = }{ \sqrt{c}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich $\sqrt{c}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl
\mathl{c \in K_-}{}
\zusatzklammer {mit einem positiven Startwert $x_0$} {} {}
berechnen möchte?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert $x_0$ die Quadratwurzel von
\mathl{c \in K_+}{} berechnen möchte?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2 +4 x-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-5)
}
{ = }{2
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-4)
}
{ = }{ -3
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Führe, ausgehend vom Intervall
\mathl{[-5,-4]}{,} Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion $f$ an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 16 } }}{} erreicht ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{c \in K_+}{} ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert
\mathl{x_0 \in K_+}{.} Es sei
\mathl{u \in K_+}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{c \cdot u^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{ u x_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {u x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n\in \N}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ K_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einem positiven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_0
}
{ \in }{K_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die Folge ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$, die durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_{n+1}
}
{ \defeq} { { \frac{ y_n+2c+ { \frac{ c^2 }{ y_n } } }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert sei.
\aufzaehlungdrei{Berechne die Glieder
\mathl{y_1,y_2}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{c}$ zum positiven Startwert $x_0$, der
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_0^2
}
{ =} { y_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfülle. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n
}
{ =} { x_n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Zeige, dass ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $c$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
\zusatzklammer {und zwar unabhängig davon, ob es in $K$ eine Quadratwurzel von $c$ gibt} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x'
}
{ =} { 2^{-1} \cdot { \left( x + { \frac{ c }{ x } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
des Heron-Verfahrens in
\mathl{\Z/(5)}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für sämtliche Startglieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets eine nichtkonstante Folge entsteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x'
}
{ =} { 2^{-1} \cdot { \left( x + { \frac{ c }{ x } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
des Heron-Verfahrens in
\mathl{\Z/(7)}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass der Durchschnitt von zwei \definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ wieder ein offenes Intervall ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Intervalle}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 5x-8 }
}
{ <} { \betrag { 11x-6 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $3$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$ zum Startwert $x_0=1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2 +4x-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{-3
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{2
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Führe, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion $f$ an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 16 } }}{} erreicht ist.
}
{} {}