Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 43

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme

$[-3,2]\,\cap \,]-2,3[.$

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ und es seien ${}x,y\in [a,b]$. Zeige

${}\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.$

Aufgabe *

Schreibe die Menge

$]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}$

als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Intervallen in einem angeordneten Körper ${}K$ wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen Intervall in einem angeordneten Körper offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.

Aufgabe

Es seien ${}I_{1},I_{2}$ Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}I_{1}\cap I_{2}\neq \emptyset$. Zeige, dass die Vereinigung ${}I_{1}\cup I_{2}$ wieder ein Intervall ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}I\subseteq K$ ein Intervall mit den Intervallgrenzen ${}a<b$. Zeige, dass es in ${}I$ eine rationale Zahl gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}I\subseteq K$ ein Intervall mit den Intervallgrenzen ${}a<b$. Zeige, dass es in ${}I$ unendlich viele rationale Zahlen gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$. Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}0\notin I$. Beschreibe die Menge

${}M={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\,$

als ein Intervall.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a<b$ rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

$[0,1]\longrightarrow [a,b]$

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}x,y$ verschiedene Punkte aus ${}K$. Zeige, dass es Intervalle ${}I_{1}$ und ${}I_{2}$ mit positiver Länge, mit ${}x\in I_{1}$, ${}y\in I_{2}$ und mit ${}I_{1}\cap I_{2}=\emptyset$ gibt.

Aufgabe

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)

${}\vert {4x-3}\vert <\vert {2x-3}\vert \,.$

b)

${}\vert {\frac {x-2}{3x-1}}\vert \leq 1\,.$

Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}7$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}{\frac {1}{2}}$ zum Startwert ${}x_{0}=1$.

Aufgabe *

1. Bestimme die Glieder ${}x_{1},x_{2}$ der Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startglied

   ${}x_{0}=1\,.$

2. Finde ganze Zahlen

   ${}a,b\neq 0\,$

   mit

   ${}\vert {a+b{\sqrt {3}}}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}$. Für ein Folgenglied gelte ${}x_{n}={\sqrt {c}}$. Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich ${}{\sqrt {c}}$ ist.

Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl ${}c\in K_{-}$ (mit einem positiven Startwert ${}x_{0}$) berechnen möchte?

Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert ${}x_{0}$ die Quadratwurzel von ${}c\in K_{+}$ berechnen möchte?

Aufgabe

Es sei

${}f(x)=x^{2}+4x-3\,.$

Es ist ${}f(-5)=2>0$ und ${}f(-4)=-3<0$. Führe, ausgehend vom Intervall ${}[-5,-4]$, Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion ${}f$ an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge ${}{\frac {1}{16}}$ erreicht ist.

Aufgabe *

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$. Es sei ${}u\in K_{+}$, ${}d=c\cdot u^{2}$, ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$. Zeige

${}y_{n}=ux_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}c\in K_{+}$. Zu einem positiven ${}y_{0}\in K_{+}$ betrachten wir die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die durch die Rekursionsvorschrift

${}y_{n+1}:={\frac {y_{n}+2c+{\frac {c^{2}}{y_{n}}}}{4}}\,$

definiert sei.

1. Berechne die Glieder ${}y_{1},y_{2}$ zu ${}c=5$ und ${}y_{0}=1$.
2. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ zum positiven Startwert ${}x_{0}$, der

   ${}x_{0}^{2}=y_{0}\,$

   erfülle. Zeige

   ${}y_{n}=x_{n}^{2}\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

3. Zeige, dass ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}c$ konvergiert (und zwar unabhängig davon, ob es in ${}K$ eine Quadratwurzel von ${}c$ gibt).

Aufgabe *

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

${}x'=2^{-1}\cdot {\left(x+{\frac {c}{x}}\right)}\,$

des Heron-Verfahrens in ${}\mathbb {Z} /(5)$ für ${}c=3$. Zeige, dass für sämtliche Startglieder ${}x_{0}\neq 0$ stets eine nichtkonstante Folge entsteht.

Aufgabe *

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

${}x'=2^{-1}\cdot {\left(x+{\frac {c}{x}}\right)}\,$

des Heron-Verfahrens in ${}\mathbb {Z} /(7)$ für ${}c=3$. Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Durchschnitt von zwei offenen Intervallen in einem angeordneten Körper ${}K$ wieder ein offenes Intervall ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper ${}K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.

${}\vert {5x-8}\vert <\vert {11x-6}\vert \,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}3$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}{\frac {1}{3}}$ zum Startwert ${}x_{0}=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}f(x)=x^{2}+4x-3\,.$

Es ist ${}f(0)=-3<0$ und ${}f(1)=2>0$. Führe, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion ${}f$ an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge ${}{\frac {1}{16}}$ erreicht ist.