Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(2,7)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(4,-3)}{} läuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2y-3x+1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,2)$ und den Radius $5$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $P,Q$ zwei Punkte auf einer Geraden $L$ und $M$ sei eine weitere Gerade durch $P$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine \stichwort {Raute} {,} sodass \mathkor {} {P} {und} {Q} {} Eckpunkte sind und eine Seite auf $M$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ ein \definitionsverweis {nichtausgeartetes Dreieck}{}{} in der Ebene mit den drei Eckpunkten $A,B,C$. Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein Dreieck $D$ durch die Eckpunkte
\mathl{A,B,C}{} in der Ebene $E$ mit den Seiten
\mathl{S,T,R}{} gegeben. Es sei ferner eine Strecke $S'$ durch zwei Punkte
\mathl{P,Q \in E}{} gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein zu $D$ ähnliches
\zusatzklammer {also winkelgleiches} {} {}
Dreieck $D'$ derart, dass $S'$ eine Seite von $D'$ ist und dass $S'$ der Seite $S$ entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt
\mathl{P \in K}{} gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} die Tangente an den Kreis durch $P$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei eine Gerade $G$ und ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \notin }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben.
\definitionsverweis {Konstruiere}{}{}
einen Kreis mit Mittelpunkt $P$ derart, dass die Gerade eine Tangente an den Kreis wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstruierbarer Punkt.
a) Zeige, dass es unendlich viele Geraden durch $P$ gibt, auf denen mindestens ein konstruierbarer Punkt liegt.
b) Zeige, dass es maximal eine Gerade durch $P$ gibt, auf der es mindestens zwei konstruierbare Punkte gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erläutere geometrisch, warum die $0$ das neutrale Element der \definitionsverweis {geometrischen Addition von reellen Zahlen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Rekapituliere die Strahlensätze.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {P} {und} {Q} {} zwei
\definitionsverweis {konstruierbare Punkte}{}{.} Zeige, dass dann auch der Abstand
\mathl{d(P,Q)}{} konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pentagon_construct.gif} }
\end{center}
\bildtext {Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal} }
\bildlizenz { Pentagon construct.gif } {TokyoJunkie} {Mosmas} {en.wikiversity.org} {PD} {}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass man aus dem Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} als Startmenge den gesamten $\R^2$
\definitionsverweis {mit Zirkel und Lineal konstruieren}{}{}
kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass man aus
\mathl{\R \setminus \Q}{} als Startmenge den gesamten $\R^2$
\definitionsverweis {mit Zirkel und Lineal konstruieren}{}{}
kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Aus einer Menge $T \subseteq E$ seien \anfuehrung{wie üblich}{} Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt
\zusatzklammer {also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen} {} {.}
Bestimme die Menge $M$ der Punkte, die aus der Anfangsmenge
\mathl{\{0,1 \}}{} auf diese Weise konstruierbar ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K} {und} {L} {,} wobei $K$ den Mittelpunkt $(2,3)$ und den Radius $4$ und $L$ den Mittelpunkt
\mathl{(5,-1)}{} und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei eine zweielementige Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \{0,1\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus $M$ in
\definitionsverweis {einem Schritt}{}{,}
in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Erläutere geometrisch, warum die $1$ das neutrale Element der \definitionsverweis {geometrischen Multiplikation von reellen Zahlen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Erläutere geometrisch, woran die \definitionsverweis {geometrische Division von reellen Zahlen}{}{} durch $0$ scheitert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{12}
{
Schreibe Computeranimationen, die die in Lemma 24.6 beschriebenen Konstruktionen veranschaulichen \zusatzklammer {über Commons hochladen} {} {}.
}
{} {}