Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Konstruiere zu einem gegebenen Rechteck mit den Seitenlän\-gen \mathkor {} {a} {und} {b} {} ein flächengleiches Quadrat, wobei eine Seitenlänge als $1$ angesetzt werden soll.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass man zu einem gegebenen Parallelogramm mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Rechteck derart konstruieren kann, dass eine Seite \zusatzklammer {von Parallelogramm und Rechteck} {} {} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man zu einem gegebenen Dreieck mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches gleichseitiges Dreieck konstruieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ist die Zahl, die den \anfuehrung{goldenen Schnitt}{} beschreibt, eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Skizziere, wie man zu einer quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z^2+pz+q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{p,q \in \R}{} aus den gegebenen Parametern $p,q$ die reellen Lösungen
\mathl{x,y}{} der Gleichung mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K \subset K' \, (\subseteq \R)}{} eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[ { \mathrm i} ]
}
{ \subset }{ K'[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine quadratische Körpererweiterung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei \definitionsverweis {konstruierbaren}{}{} komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {My_Keyboard.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { My_Keyboard.jpg } {Paree} {} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten \zusatzklammer {bei \anfuehrung{gleichstufiger Stimmung}{}} {} {} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
\mathdisp {z^2 -3 z \sqrt{w} + \sqrt{z +w^2} - { \frac{ 5 }{ 7 } } +4 \sqrt{ \sqrt{z} + w } + \sqrt{11}} { }
konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es Matrizen
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)}{} derart gibt, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
aus
\mathl{\Q[X]}{} ist, dass in $M$ aber auch
\definitionsverweis {transzendente}{}{}
Einträge vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
die Potenz
\mathl{a^b}{} nicht konstruierbar sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es Geraden gibt, auf denen es keinen konstruierbaren Punkt gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe elementargeometrisch, dass der Flächeninhalt eines Kreises zu seinem Umfang im Verhältnis Radius halbe steht.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt $P$ außerhalb des Kreises gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} eine der Tangenten an den Kreis, die durch $P$ läuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
und $r$ eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt $Z$ und Radius $r$ konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $P,Q_1,Q_2$ drei \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte derart, dass die Abstände \mathkor {} {d(P,Q_1)} {und} {d(P,Q_2)} {} gleich $1$ sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden $90$ Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {E=\R^2} {E=\R^2 } {} gibt, die \mathkor {} {0} {auf} {P} {,} \mathkor {} {1} {auf} {Q_1} {} und \mathkor {} {{ \mathrm i}} {auf} {Q_2} {} schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe die Konstruktion einer reellen Zahl $x$ mit Hilfe von Zirkel und Lineal, deren Abweichung von $\sqrt{\pi}$ kleiner als
\mathl{0{,}00001}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ re^{ { \mathrm i} \varphi}
}
{ = }{ r \left( \cos \varphi , \, \sin \varphi \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {konstruierbar}{}{}
ist, wenn $r$ und $e^{ { \mathrm i} \varphi}$ konstruierbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer \definitionsverweis {konstruierbaren}{}{} komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.
}
{} {}