Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 25

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Konstruiere zu einem gegebenen Rechteck mit den Seitenlängen ${}a$ und ${}b$ ein flächengleiches Quadrat, wobei eine Seitenlänge als ${}1$ angesetzt werden soll.

Aufgabe *

Zeige, dass man zu einem gegebenen Parallelogramm mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Rechteck derart konstruieren kann, dass eine Seite (von Parallelogramm und Rechteck) übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass man zu einem gegebenen Dreieck mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches gleichseitiges Dreieck konstruieren kann.

Aufgabe

Ist die Zahl, die den „goldenen Schnitt“ beschreibt, eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe *

Skizziere, wie man zu einer quadratischen Gleichung

${}z^{2}+pz+q=0\,$

mit ${}p,q\in \mathbb {R}$ aus den gegebenen Parametern ${}p,q$ die reellen Lösungen ${}x,y$ der Gleichung mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe

Es sei ${}K\subset K'\,(\subseteq \mathbb {R} )$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]\subset K'[{\mathrm {i} }]$ eine quadratische Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei konstruierbaren komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.

Aufgabe

Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten (bei „gleichstufiger Stimmung“) eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe *

Es seien ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

$z^{2}-3z{\sqrt {w}}+{\sqrt {z+w^{2}}}-{\frac {5}{7}}+4{\sqrt {{\sqrt {z}}+w}}+{\sqrt {11}}$

konstruierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass es Matrizen ${}M\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$ derart gibt, dass das charakteristische Polynom aus ${}\mathbb {Q} [X]$ ist, dass in ${}M$ aber auch transzendente Einträge vorkommen.

Aufgabe *

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen ${}a$ und ${}b$ die Potenz ${}a^{b}$ nicht konstruierbar sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass es Geraden gibt, auf denen es keinen konstruierbaren Punkt gibt.

Aufgabe

Begründe elementargeometrisch, dass der Flächeninhalt eines Kreises zu seinem Umfang im Verhältnis Radius halbe steht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Kreis ${}K$ und ein Punkt ${}P$ außerhalb des Kreises gegeben. Konstruiere eine der Tangenten an den Kreis, die durch ${}P$ läuft.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}Z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl und ${}r$ eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt ${}Z$ und Radius ${}r$ konstruierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P,Q_{1},Q_{2}$ drei konstruierbare Punkte derart, dass die Abstände ${}d(P,Q_{1})$ und ${}d(P,Q_{2})$ gleich ${}1$ sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden ${}90$ Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung

$\varphi \colon E=\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow E=\mathbb {R} ^{2}$

gibt, die ${}0$ auf ${}P$, ${}1$ auf ${}Q_{1}$ und ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}Q_{2}$ schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion einer reellen Zahl ${}x$ mit Hilfe von Zirkel und Lineal, deren Abweichung von ${}{\sqrt {\pi }}$ kleiner als ${}0{,}00001$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Zahl ${}re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r\left(\cos \varphi ,\,\sin \varphi \right)$ genau dann konstruierbar ist, wenn ${}r$ und ${}e^{{\mathrm {i} }\varphi }$ konstruierbar sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer konstruierbaren komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.