Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mathl{a \in L}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {L
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{
\mathl{(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)}{,}
}{
\mathl{(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)}{,}
}{
\mathl{1(a)=1}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf einem endlichdimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbeledisp {} {K[X]} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
} {P} {P(\varphi)
} {,}
der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element
\mathl{a \in L}{} zu einer
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Einsetzungshomomorphismus
\mathl{P \mapsto P(a)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $f,g$ \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,}
die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.
Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von $\Z$ und von
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein Körper sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
aber kein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei $f_j$,
\mathl{j \in J}{,} eine Familie von Elementen in $R$. Es sei angenommen, dass die $f_j$ zusammen das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{} erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie $f_j$,
\mathl{j \in J_0 \subseteq J}{} gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Kette von
\definitionsverweis {Idealen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass $p$ genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn es genau zwei
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
oberhalb von
\mathl{(p)}{} gibt, nämlich
\mathl{(p)}{} selbst und
\mathl{(1)= R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1
}
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $u$ ungerade.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
zwei oder drei genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom Grad $3$. Zeige, dass $F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X+1} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X-1} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge der Faktoren} {} {}
eindeutige Produktdarstellung
\mathdisp {F = a F_1 \cdots F_r} { }
mit
\mathl{a \in K^{\times}}{} und
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{}
\definitionsverweis {normierten}{}{} Polynomen
\mathbed {F_i} {}
{i=1 , \ldots , r} {}
{} {} {} {,}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Z[X]$ und der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine
\definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{p \in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
Zeige, dass $p$ auch im Polynomring
\mathl{R[X]}{} prim ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Bestimme in
\mathl{K[X]}{} die
\definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
schreiben kann.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird der \stichwort {Quotientenkörper} {} zu einem Integritätsbereich definiert.
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass man auf folgende Weise einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ konstruieren kann, der $R$ enthält.
Wir betrachten auf
\mathdisp {M= R \times (R \setminus{\{0\} })} { }
die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad = bc} { , }
definierte Relation.
a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
b) Definiere auf der \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} $Q(R)$ \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} derart, dass $Q(R)$ zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} wird und dass \maabbeledisp {\varphi} {R} {Q(R) } {r} {[ (r,1)] } {,} mit Addition und Multiplikation verträglich ist und $\varphi(1)=1$ gilt.
}
{} {}