Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 3

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element zu einer Körpererweiterung gegebenen Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Nichtnullteiler in . Zeige, dass das Produkt ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring. Zu jedem sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe

Bestimme die Einheiten von und von , wobei ein Körper sei.


Aufgabe

Zeige, dass eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei , , eine Familie von Elementen in . Es sei angenommen, dass die zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie , gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und , . Zeige, dass genau dann irreduzibel ist, wenn es genau zwei Hauptideale oberhalb von gibt, nämlich selbst und .


Aufgabe

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in besitzt.


Aufgabe

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad . Zeige, dass entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.


Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

mit und irreduziblen normierten Polynomen , , gibt.


Aufgabe

Zeige, dass und der Polynomring in zwei Variablen über einem Körper keine Hauptidealbereiche sind.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primelement. Zeige, dass auch im Polynomring prim ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in die irreduziblen Polynome.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.


In der folgenden Aufgabe wird der Quotientenkörper zu einem Integritätsbereich definiert.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper konstruieren kann, der enthält.

Wir betrachten auf

die durch
definierte Relation.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf der Quotientenmenge Verknüpfungen derart, dass zu einem Körper wird und dass

mit Addition und Multiplikation verträglich ist und gilt.



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