Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 3

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}a\in L$ . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

\psi \colon K[X]\longrightarrow L,\,P\longmapsto P(a),

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$ ).

${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$ ,
${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$ ,
${}1(a)=1$ .

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum und

K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(\varphi ),

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element ${}a\in L$ zu einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ gegebenen Einsetzungshomomorphismus ${}P\mapsto P(a)$ .

Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}f,g$ Nichtnullteiler in ${}R$ . Zeige, dass das Produkt ${}fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,

die Multiplikation mit ${}f$ . Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Bestimme die Einheiten von ${}\mathbb {Z}$ und von ${}K[X]$ , wobei ${}K$ ein Körper sei.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f_{j}$ , ${}j\in J$ , eine Familie von Elementen in ${}R$ . Es sei angenommen, dass die ${}f_{j}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie ${}f_{j}$ , ${}j\in J_{0}\subseteq J$ gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}p\in R$ , ${}p\neq 0$ . Zeige, dass ${}p$ genau dann irreduzibel ist, wenn es genau zwei Hauptideale oberhalb von ${}(p)$ gibt, nämlich ${}(p)$ selbst und ${}(1)=R$ .

Aufgabe

Beweise die Formel

{}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,

für ${}u$ ungerade.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$ . Zeige, dass ${}F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

X^{3}-3X+1

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

X^{3}-3X-1

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

F=aF_{1}\cdots F_{r}

mit ${}a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen ${}F_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,r$ , gibt.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} [X]$ und der Polynomring in zwei Variablen ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ keine Hauptidealbereiche sind.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass ${}p$ auch im Polynomring ${}R[X]$ prim ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in ${}K[X]$ die irreduziblen Polynome.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in ${}K[X]$ gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${}P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad ${}1$ oder ${}2$ schreiben kann.