Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} eines \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} wieder ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Bild unter einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ein Unterring ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das Bild eines \definitionsverweis {Ideals}{}{} unter einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von jedem Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ebenfalls $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von jedem Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ein Teiler von $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {\Z} {R
} {}
der
\definitionsverweis {kanonische Homomorphismus}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von $R$ der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \subseteq }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {kanonische Homomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {\Z} {R
} {}
eine eindeutige Faktorisierung
\mathdisp {\Z \longrightarrow \Z/(n) \longrightarrow R} { }
besitzt, wobei $n$ die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Primkörper}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^3+4X-3$ unter dem durch
\mathl{X \mapsto X^2+X-1}{} definierten
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabb {} {K[X]} {K[X]
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixiertes Element. Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]} {K
} {X} {a
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A \subseteq \Q}{} die Menge derjenigen
\definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{,}
die eine abbrechende
\definitionsverweis {Dezimalentwicklung}{}{}
besitzen. Zeige, dass $A$ ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Q$ ist und bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von $A$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ \operatorname{C}^0 \, (\R, \R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ring der stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$. Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von $C$ einen
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
bilden.
\aufzaehlungdrei{Die Menge der stetigen
$2 \pi$-\definitionsverweis {periodischen}{}{} Funktionen.
}{Die Menge der stetigen
\definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{.}
}{Die Menge der stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb K} = \R \text{ oder } {\mathbb C}}{} und es sei
\mathl{D_{\mathbb K}=\operatorname{C}^1({\mathbb K},{\mathbb K})}{} der
\definitionsverweis {Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen}{}{} von ${\mathbb K}$ nach ${\mathbb K}$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\Psi} {{\mathbb K}[X]} {D_{\mathbb K}
} {X} {
\operatorname{Id}_{ {\mathbb K} }
} {,}
\definitionsverweis {injektiv}{}{} ist. Bestimme die Polynome
\mathl{F \in {\mathbb K}[X]}{,} für die
\mathl{\Psi(F)}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{} in $D_{\mathbb K}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{}
und
\mathl{f \in M}{.} Zeige, dass das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$ über $K$ mit dem Minimalpolynom von
\mathl{f}{,} aufgefasst in $L$, über $K$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{2 { \mathrm i}-3 \sqrt{3}}{} über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{\pi +e { \mathrm i}}{} über $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ X^3 - { \left( 2X^4-X \right) } { \mathrm i} }{ X^3-1 +X^2 { \mathrm i} } } \in {\mathbb C} (X)} { }
über $\R (X)$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^4-2X^2+5X-2$ unter dem durch
\mathl{X \mapsto 2X^3+X-1}{} definierten
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabb {} {K[X]} {K[X]
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch $X \mapsto P$ definierte
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
von $K[X]$ nach $K[X]$ injektiv ist und dass der durch $P$ erzeugte Unterring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[P]
}
{ \subseteq }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum Polynomring in einer Variablen ist.
}
{Zeige, dass bei $\operatorname{grad} \, (P) \geq 2$ ein echter Unterring $K[P] \subset K[X]$ vorliegt.} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Betrachte den
\definitionsverweis {Matrizenring}{}{}
\mathl{\operatorname{Mat}_3(K)}{} und darin die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\1 & 4 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Definiere einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[X]} { \operatorname{Mat}_3(K)
} {,}
der $X$ auf $M$ schickt. Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieser Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {einfache Radikalerweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}