Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 6

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.


Aufgabe *

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich der Charakteristik . Zeige, dass die Ordnung von jedem Element , , ebenfalls ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring der Charakteristik . Zeige, dass die Ordnung von jedem Element , , ein Teiler von ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass der kanonische Homomorphismus eine eindeutige Faktorisierung

besitzt, wobei die Charakteristik von ist.


Aufgabe

Bestimme sämtliche Primkörper.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus


Aufgabe

Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, die eine abbrechende Dezimalentwicklung besitzen. Zeige, dass ein Unterring von ist und bestimme die Einheiten von .


Aufgabe

Es sei der Ring der stetigen Funktionen von nach . Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von einen Unterring bilden.

  1. Die Menge der stetigen -periodischen Funktionen.
  2. Die Menge der stetigen geraden Funktionen.
  3. Die Menge der stetigen ungeraden Funktionen.


Aufgabe

Es sei und es sei der Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen von nach . Zeige, dass der Einsetzungshomomorphismus

injektiv ist. Bestimme die Polynome , für die eine Einheit in ist.


Aufgabe *

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Aufgabe

Es seien endliche Körpererweiterungen und . Zeige, dass das Minimalpolynom von über mit dem Minimalpolynom von , aufgefasst in , über übereinstimmt.


Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe *

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe *

Bestimme das Minimalpolynom von

über .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch definierte Einsetzungshomomorphismus von nach injektiv ist und dass der durch erzeugte Unterring isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Zeige, dass bei ein echter Unterring vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper. Betrachte den Matrizenring und darin die Matrix

Definiere einen Ringhomomorphismus

der auf schickt. Bestimme den Kern dieser Abbildung.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper der Charakteristik und eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dies eine einfache Radikalerweiterung ist.



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