Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 6

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.

Aufgabe *

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich der Charakteristik ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Ordnung von jedem Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, ebenfalls ${}n$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring der Charakteristik ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Ordnung von jedem Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, ein Teiler von ${}n$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow R$ der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von ${}R$ der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals ${}\operatorname {kern} \varphi \subseteq \mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass der kanonische Homomorphismus ${}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow R$ eine eindeutige Faktorisierung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow R$

besitzt, wobei ${}n$ die Charakteristik von ${}R$ ist.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Primkörper.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Berechne das Bild des Polynoms ${}X^{3}+4X-3$ unter dem durch ${}X\mapsto X^{2}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\rightarrow K[X]$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$ ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.$

Aufgabe

Es sei ${}A\subseteq \mathbb {Q}$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, die eine abbrechende Dezimalentwicklung besitzen. Zeige, dass ${}A$ ein Unterring von ${}\mathbb {Q}$ ist und bestimme die Einheiten von ${}A$.

Aufgabe

Es sei ${}C=\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Entscheide, ob die folgenden Teilmengen von ${}C$ einen Unterring bilden.

1. Die Menge der stetigen ${}2\pi$- periodischen Funktionen.
2. Die Menge der stetigen geraden Funktionen.
3. Die Menge der stetigen ungeraden Funktionen.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} }$ und es sei ${}D_{\mathbb {K} }=\operatorname {C} ^{1}({\mathbb {K} },{\mathbb {K} })$ der Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen von ${}{\mathbb {K} }$ nach ${}{\mathbb {K} }$. Zeige, dass der Einsetzungshomomorphismus

$\Psi \colon {\mathbb {K} }[X]\longrightarrow D_{\mathbb {K} },\,X\longmapsto \operatorname {Id} _{\mathbb {K} },$

injektiv ist. Bestimme die Polynome ${}F\in {\mathbb {K} }[X]$, für die ${}\Psi (F)$ eine Einheit in ${}D_{\mathbb {K} }$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe

Es seien ${}K\subseteq M\subseteq L$ endliche Körpererweiterungen und ${}f\in M$. Zeige, dass das Minimalpolynom von ${}f$ über ${}K$ mit dem Minimalpolynom von ${}f$, aufgefasst in ${}L$, über ${}K$ übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}2{\mathrm {i} }-3{\sqrt {3}}$ über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe *

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}\pi +e{\mathrm {i} }$ über ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe *

Bestimme das Minimalpolynom von

${\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}\in {\mathbb {C} }(X)$

über ${}\mathbb {R} (X)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Berechne das Bild des Polynoms ${}X^{4}-2X^{2}+5X-2$ unter dem durch ${}X\mapsto 2X^{3}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\rightarrow K[X]$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch ${}X\mapsto P$ definierte Einsetzungshomomorphismus von ${}K[X]$ nach ${}K[X]$ injektiv ist und dass der durch ${}P$ erzeugte Unterring ${}K[P]\subseteq K[X]$ isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Zeige, dass bei ${}\operatorname {grad} \,(P)\geq 2$ ein echter Unterring ${}K[P]\subset K[X]$ vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Betrachte den Matrizenring ${}\operatorname {Mat} _{3}(K)$ und darin die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&4&5\\2&4&6\\1&4&7\end{pmatrix}}\,.$

Definiere einen Ringhomomorphismus

$K[X]\longrightarrow \operatorname {Mat} _{3}(K),$

der ${}X$ auf ${}M$ schickt. Bestimme den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dies eine einfache Radikalerweiterung ist.