Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und
\mathl{f \in L}{.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {L} {L
} {x} {fx
} {,}
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe die Matrix der Multiplikationsabbildung zu
\mathl{7+5 { \mathrm i}}{} bezüglich der reellen Basis
\mathl{1, { \mathrm i}}{} von ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[ \sqrt{3} ]
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu
\mathl{-4+9 \sqrt{3}}{} bezüglich der
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1, \sqrt{3}}{} von $L$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element
\mathl{7x^2-4x+5}{} in der kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[X]/ { \left( X^3-6X^2+5X-8 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{p,q}{} verschiedene
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}]
}
{ \defeqr} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element
\mathl{a + b \sqrt{p} +c \sqrt{q} +d \sqrt{pq} \in L}{} bezüglich der Basis
\mathl{1, \sqrt{p} , \sqrt{q}, \sqrt{pq}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {L} {\operatorname{End}_{ K } \, (L)
} {f} { \mu_f
} {,}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Es sei
\mathl{f \in M}{} und $B$ die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung
\maabb {\mu_f} {M} {M
} {}
bezüglich einer
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $M$. Zeige, dass bezüglich einer geeigneten $K$-Basis von $L$ die Multiplikationsabbildung
\maabb {\mu_f} {L} {L
} {}
durch eine Blockmatrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} B & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & B & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & B \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe für die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Konzepte
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und
\definitionsverweis {Spur}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
und dem
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
einer komplexen Zahl in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {N} { L^{\times} } { K^{\times}
} {f} {N(f)
} {,}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für das Element
\mathl{2+4x+5x^2}{} in der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ X ]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ \defeqr} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und die
\definitionsverweis {Spur}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kette von
\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterungen}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Normen}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N^L_K
}
{ =} { N^M_K\circ N^L_M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2)
}
{ \subseteq} { \Z/(2) [X]/ { \left( X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis $1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{}
$\mu_f$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{\mu_f}}{} ein Vielfaches des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{}
zu $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und
\mathl{f \in L}{.} Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der
$K$-\definitionsverweis {linearen}{}{}
\definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{}
\maabbdisp {\mu_f} {L} {L
} {}
grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ X^n-c
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a_{n-1} X^{n-1} + a_{n-2}X^{n-2} + \cdots + a_1X+ a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Element in der
\definitionsverweis {einfachen}{}{}
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $n$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $f$ gleich $na_0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathdisp {L=\Q[X]/ { \left( X^3-p \right) }} { }
der durch das irreduzible Polynom
\mathl{X^3-p}{} definierte Erweiterungskörper von $\Q$. Es sei
\mathdisp {f=2+3x-4x^2} { . }
\aufzaehlungfuenf{Finde die Matrix bezüglich der $\Q$-Basis
\mathl{1,x,x^2}{} von $L$ der durch die Multiplikation mit $f$ definierten $\Q$-linearen Abbildung.
}{Berechne die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und die Spur von $f$.
}{Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$.
}{Finde das Inverse von $f$.
}{Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
der Basis
\mathl{1,f,f^2}{.}
}
}
{} {}
Wir erinnern an einige Eigenschaften der Spur.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Definition . der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $B$ eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix über $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( A \circ B \right) }
}
{ =} { \operatorname{Spur} { \left( B \circ A \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$ mit der Eigenschaft, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
in Linearfaktoren zerfällt, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdot (X- \lambda_2)^{\mu_2} { \cdots } (X-\lambda_k)^{\mu_k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } \mu_i \lambda_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)} { }
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit $n$
\zusatzklammer {paarweise} {} {}
verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $M$ die Summe der Eigenwerte ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
zur
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ { \mathrm i} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zur Basis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
und zur Basis
\mathkor {} {2-5 { \mathrm i}} {und} {4+7 { \mathrm i}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element
\mathl{7x^2+3x-8}{} in der kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ =} {\Q[X]/ { \left( X^3+9X^2-2X+5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(3)
}
{ \subseteq} { \Z/(3) [X]/ { \left( X^2-2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis $1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Es sei
\mathl{a \in K}{} ein Element, das in $K$ keine $p$-te
\definitionsverweis {Wurzel}{}{} besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^p-a}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {(Tipp: Betrachte die Norm zu einer geeigneten Körpererweiterung.)}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
\mathl{f \in L}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{K[f]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung
\maabbdisp {\mu_f} {L} {L
} {}
eine Potenz des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{}
von $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
zur Basis $1,x,x^2$ der kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[X]/ { \left( X^3-5X^2+6X-3 \right) }
}
{ \defeqr} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}