Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 8
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Aufgabe
Wir betrachten die endliche Körpererweiterung . Beschreibe die Matrix der Multiplikationsabbildung zu bezüglich der reellen Basis von .
Aufgabe
Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung . Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu bezüglich der - Basis von .
Aufgabe
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung
Aufgabe *
Es seien verschiedene Primzahlen und
die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element bezüglich der Basis .
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung
ein injektiver Ringhomomorphismus ist.
Aufgabe
Es sei eine Körpererweiterung. Es sei und die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung bezüglich einer - Basis von . Zeige, dass bezüglich einer geeigneten -Basis von die Multiplikationsabbildung durch eine Blockmatrix der Form
Aufgabe
Bringe für die Körpererweiterung die Konzepte Norm und Spur mit dem Betrag und dem Realteil einer komplexen Zahl in Verbindung.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen. Zeige, dass für die Normen die Beziehung
gilt.
Aufgabe *
Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis sowie ihre Norm und ihre Spur.
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei gegeben mit der zugehörigen Multiplikationsabbildung . Zeige, dass das charakteristische Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms zu ist.
Aufgabe *
Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der - linearen Multiplikationsabbildung
grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Es sei
ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass die Spur von gleich ist.
Aufgabe
Es sei eine Primzahl und sei
der durch das irreduzible Polynom definierte Erweiterungskörper von . Es sei
- Finde die Matrix bezüglich der -Basis von der durch die Multiplikation mit definierten -linearen Abbildung.
- Berechne die Norm und die Spur von .
- Bestimme das Minimalpolynom von .
- Finde das Inverse von .
- Berechne die Diskriminante der Basis .
Wir erinnern an einige Eigenschaften der Spur.
Aufgabe
Zeige, dass die Definition . der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also
Zeige, dass
ist.
Aufgabe
Es sei
eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von die Summe der Eigenwerte ist.
Aufgabe
Aufgabe *
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine - Basis von . Zeige, dass dann
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis sowie ihre Norm und ihre Spur.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein Körper und sei eine Primzahl. Es sei ein Element, das in keine -te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.
(Tipp: Betrachte die Norm zu einer geeigneten Körpererweiterung.)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Körpererweiterung, und . Zeige, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung
eine Potenz des Minimalpolynoms von ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Diskriminante zur Basis der kubischen Körpererweiterung
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