Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 8

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und . Zeige, dass die Abbildung

-linear ist.


Aufgabe

Wir betrachten die endliche Körpererweiterung . Beschreibe die Matrix der Multiplikationsabbildung zu bezüglich der reellen Basis von .


Aufgabe

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung . Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu bezüglich der -Basis von .


Aufgabe

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung


Aufgabe *

Es seien verschiedene Primzahlen und

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element bezüglich der Basis .


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung. Es sei und die beschreibende Matrix der Multiplikationsabbildung bezüglich einer -Basis von . Zeige, dass bezüglich einer geeigneten -Basis von die Multiplikationsabbildung durch eine Blockmatrix der Form

beschrieben wird.


Aufgabe

Bringe für die Körpererweiterung die Konzepte Norm und Spur mit dem Betrag und dem Realteil einer komplexen Zahl in Verbindung.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm einen Gruppenhomomorphismus

definiert.


Aufgabe

Berechne für das Element in der Körpererweiterung

die Norm und die Spur.


Aufgabe

Es sei eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen. Zeige, dass für die Normen die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis sowie ihre Norm und ihre Spur.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei gegeben mit der zugehörigen Multiplikationsabbildung . Zeige, dass das charakteristische Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms zu ist.


Aufgabe *

Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der -linearen Multiplikationsabbildung

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Es sei

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass die Spur von gleich ist.


Aufgabe

Sei eine Primzahl und sei

der durch das irreduzible Polynom definierte Erweiterungskörper von . Es sei

  1. Finde die Matrix bezüglich der -Basis von der durch die Multiplikation mit definierten -linearen Abbildung.
  2. Berechne die Norm und die Spur von .
  3. Bestimme das Minimalpolynom von .
  4. Finde das Inverse von .
  5. Berechne die Diskriminante der Basis .


Wir erinnern an einige Eigenschaften der Spur.

Aufgabe

Zeige, dass die Definition . der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von die Summe der Eigenwerte ist.


Aufgabe

Berechne die Diskriminante zur Körpererweiterung

zur Basis und und zur Basis und .


Aufgabe *

Sei ein Körper der Charakteristik und sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine -Basis von . Zeige, dass dann




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis sowie ihre Norm und ihre Spur.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine Primzahl. Es sei ein Element, das in keine -te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.

(Tipp: Betrachte die Norm zu einer geeigneten Körpererweiterung.)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Körpererweiterung, und . Zeige, dass das charakteristische Polynom der Multiplikationsabbildung

eine Potenz des Minimalpolynoms von ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Diskriminante zur Basis der kubischen Körpererweiterung



<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)