Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $p\in R$, $p\ne 0$. Zeige, dass $p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring $R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔞$ ein Ideal mit dem Restklassenring

$S=R/𝔞.$

Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die $𝔞$ umfassen.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Idealen  $𝔞,𝔟\subseteq R$.  Es sei  $S=R/𝔟$  und  $\widetilde{𝔞}=𝔞S$  das Bildideal. Zeige, dass  ${𝔞}^{n}S={\widetilde{𝔞}}^n$  ist.