Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit Idealen  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$.  Es sei  ${}S=R/{\mathfrak {b}}$  und  ${}{\tilde {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {a}}S$  das Bildideal. Zeige, dass  ${}{\mathfrak {a}}^{n}S={\tilde {\mathfrak {a}}}^{n}$  ist.