Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Teiltest/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 8 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 5 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 65 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Die \stichwort {Einheitsmatrix} {} $E_n$.
}{Ein \stichwort {Untervektorraum} {}
\mathl{U \subseteq V}{} in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} von Vektoren $v_1 , \ldots , v_n$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Eine \stichwort {Basis} {} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraums}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über das inverse Element} {} in einer Gruppe $(G,\circ,e)$.}{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}{Der \stichwort {Basisaustauschsatz} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Diese Vorlesung versteht keine Sau}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \cap C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7
} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {4} {5} {1} }
{\mazeileundzwei {1} {2} }
gegebene Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\{1,2,3,4,5,6,7\} } {\{1,2,3,4,5,6,7\}
} {.}
a) Bestimme das Bild von
\mathl{\{1,2,3\}}{} unter $\varphi$.
b) Bestimme das Urbild von
\mathl{\{4,5,6,7\}}{} unter $\varphi$.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^3
}
{ =} { \varphi \circ \varphi \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+4)}
{
Zu
\mathl{n \in \N}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[n]
}
{ =} {\{0,1,2, \ldots, n \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu jedem
\mathl{n \in \N}{} und jedem
\mathl{0 \leq k \leq n}{} seien die Abbildungen
\maabbdisp {D_k} {[n]} {[n+1]
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_k(j)
}
{ =} { \begin{cases} j, \text{ falls } j < k, \\ j+1 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Abbildungen
\maabbdisp {S_k} {[n+1]} {[n]
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_k(j)
}
{ =} { \begin{cases} j, \text{ falls } j \leq k, \\ j-1 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für \maabbdisp {D_3} {[4]} {[5] } {.}
b) Erstelle eine Wertetabelle für \maabbdisp {S_3} {[6]} {[5] } {.}
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
\wertetabellesechsausteilzeilen { $j$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {3} {4} }
{ {5} }
{ $\varphi(j)$ }
{\mazeileundfuenf {0} {2} {2} {4} {5} }
{ {5} } gegebene Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {[5]} {[5]
} {}
als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten $D_k$ und $S_i$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in G}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass die drei reellen Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
bezüglich der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+4 w & = & 4 \\ 2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\ 4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\ x &
+3 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(1,0,0)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(1,-2,5), (4,0,3) \text{ und } (2,1,1)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Im $\R^3$ seien die beiden Untervektorräume
\mathdisp {U= { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }} { }
und
\mathdisp {V = { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }} { }
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $V$ ein Vektorraum und
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n} { }
eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von $V$ bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt
\zusatzklammer {d.h. sobald man einen Vektor $v_i$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit $\operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } =n$ und $\operatorname{dim}_{ } { \left( W \right) }=m$. Welche Dimension besitzt der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} $V \times W$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $W$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum
\zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {} und seien
\mathl{U,V \subseteq W}{} Untervektorräume der Dimension
\mathl{\operatorname{dim}_{ } { \left( U \right) } =r}{} und
\mathl{\operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } =s}{.} Es gelte
\mathl{r+s >n}{.} Zeige, dass
\mathl{U\cap V \neq 0}{} ist.
}
{} {}