Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Teiltest/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 4 | 2 | 2 | 3 | 6 | 1 | 5 | 2 | 2 | 4 | 2 | 3 | 4 | 8 | 5 | 5 | 65 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
- Eine injektive Abbildung
- Die Einheitsmatrix .
- Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
- Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
- Eine Basis eines - Vektorraums .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe .
- Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
- Der Basisaustauschsatz.
Aufgabe * (1 Punkt)
Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Aufgabe * (4 Punkte)
Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?
Aufgabe * (2 Punkte)
Es seien und Mengen. Beweise die Identität
Aufgabe * (2 Punkte)
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung
a) Bestimme das Bild von unter .
b) Bestimme das Urbild von unter .
c) Erstelle eine Wertetabelle für
Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)
Zu sei
Zu jedem und jedem seien die Abbildungen
durch
und die Abbildungen
durch
definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für
b) Erstelle eine Wertetabelle für
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .
Aufgabe * (5 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt
Aufgabe * (2 Punkte)
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das inhomogene Gleichungssystem
Aufgabe * (2 Punkte)
Löse die lineare Gleichung
über und berechne den Betrag der Lösung.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (8 Punkte)
Es sei ein Vektorraum und
eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein -dimensionaler - Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.