Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Teiltest/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 3 2 2 3 6 1 5 2 2 4 2 3 4 8 5 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die Einheitsmatrix .
  4. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Eine Basis eines -Vektorraums .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe .
  2. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
  3. Der Basisaustauschsatz.


Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Aufgabe * (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

Zu sei

Zu jedem und jedem seien die Abbildungen

durch

und die Abbildungen

durch

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

b) Erstelle eine Wertetabelle für

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .


Aufgabe * (1 Punkt)

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die drei reellen Matrizen

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt


Aufgabe * (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe * (4 Punkte)

Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein Vektorraum und

eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.