Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 8 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 63 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Kommutativität} {} einer Verknüpfung \maabbdisp {\circ} {M \times M} {M } {.}
}{Die \stichwort {Dimension} {} eines $K$-Vektorraums $V$ \zusatzklammer {$V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem} {} {.}
}{Die
\stichwort {beschreibende Matrix} {}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $V$ und einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $W$.
}{Die \stichwort {Permutationsgruppe} {} zu einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Eigenwert} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine
\stichwort {affin-lineare} {}
Abbildung
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
über den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
heißt kommutativ, wenn für alle
\mathl{x,y \in M}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \circ y
}
{ =} { y \circ x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
}{Unter der beschreibenden Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basen versteht man die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te
\definitionsverweis {Koordinate}{}{}
von
\mathl{\varphi(v_j )}{} bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ ist.
}{Man nennt die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Aut} \, (M)
}
{ =} {\operatorname{Perm} \, (M)
}
{ =} { { \left\{ \varphi:M \longrightarrow M \mid \varphi \text{ bijektiv} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu $M$.
}{Ein Element
\mathl{\lambda \in K}{} heißt ein Eigenwert zu $\varphi$, wenn es einen von $0$ verschiedenen Vektor
\mathl{v \in V}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} {\lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
heißt
affin-linear,
wenn es eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi (P+v)
}
{ =} { \psi(P) + \varphi(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{P \in E}{} und
\mathl{v \in V}{} gilt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.}{Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.}{Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Dann stehen die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$, wobei $W$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
sei. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren
\mathl{w_1 , \ldots , w_n \in W}{} und
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} auf $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { f_1w_1 +f_2w_2 + \cdots + f_nw_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei
\mathl{\lambda \in K}{.} Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ \leq} { \mu_\lambda(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+4)}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[n]
}
{ =} {\{0,1,2, \ldots, n \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu jedem
\mathl{n \in \N}{} und jedem
\mathl{0 \leq k \leq n}{} seien die Abbildungen
\maabbdisp {D_k} {[n]} {[n+1]
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_k(j)
}
{ =} { \begin{cases} j, \text{ falls } j < k, \\ j+1 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Abbildungen
\maabbdisp {S_k} {[n+1]} {[n]
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_k(j)
}
{ =} { \begin{cases} j, \text{ falls } j \leq k, \\ j-1 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für \maabbdisp {D_3} {[4]} {[5] } {.}
b) Erstelle eine Wertetabelle für
\maabbdisp {S_3} {[6]} {[5]
} {.}
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
\wertetabellesechsausteilzeilen { $j$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {3} {4} }
{ {5} }
{ $\varphi(j)$ }
{\mazeileundfuenf {0} {2} {2} {4} {5} }
{ {5} } gegebene Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {[5]} {[5]
} {}
als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten $D_k$ und $S_i$.
}
{
a) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $j$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {3} {4} }
{ $D_3(j)$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {4} {5} }
b) \wertetabellesiebenausteilzeilen { $j$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {3} {4} }
{\mazeileundzwei {5} {6} }
{ $S_3(j)$ }
{\mazeileundfuenf {0} {1} {2} {3} {3} }
{\mazeileundzwei {4} {5} }
c) Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { D_3 \circ D_1 \circ S_3 \circ S_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Komposition hat für die Elemente
\mathl{0,1,2,3,4,5}{} jeweils den folgenden Effekt:
\mathdisp {0 \mapsto 0 \mapsto 0 \mapsto 0 \mapsto 0} { , }
\mathdisp {1 \mapsto 1 \mapsto 1 \mapsto 2 \mapsto 2} { , }
\mathdisp {2 \mapsto 1 \mapsto 1 \mapsto 2 \mapsto 2} { , }
\mathdisp {3 \mapsto 2 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 4} { , }
\mathdisp {4\mapsto 3 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 5} { , }
\mathdisp {5 \mapsto 4 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 5} { . }
Das Gesamtergebnis stimmt also mit $\varphi$ überein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $W$ ein $n$-dimensionaler
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ = }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ = }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r+s
}
{ > }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap V
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Es sei $u_1 , \ldots , u_r$ eine Basis von $U$ und $v_1 , \ldots , v_s$ eine Basis von $V$. Wir betrachten die Familie der Vektoren
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_r, v_1 , \ldots , v_s} { . }
Wegen
\mathl{r+s >n}{} kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen
\mathl{(r+s)}{-}dimensionalen Untervektorraum von $W$ geben würde. Also gibt es Koeffizienten
\mathl{a_1 , \ldots , a_r, b_1 , \ldots , b_s}{,} die nicht alle $0$ sind, mit
\mathdisp {a_1u_1 + \cdots + a_ru_r = b_1v_1 + \cdots + b_sv_s} { . }
Dieser Vektor gehört zu
\mathl{U \cap V}{.} Er ist nicht $0$, da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten $0$ sein müssten.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind $150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? \zusatzklammer {Rechne mit Monat = $30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an} {} {.}
}
{
$150$ Milliliter sind
\mathl{0{,}15}{} Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6 \cdot 30 \cdot 0{,}15
}
{ =} { 180 \cdot 0{,}15
}
{ =} { 27
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Liter Milch getrunken.
Dabei hat er
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{10 -3
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 27 } }
}
{ =} { 0{,}259\dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
In Prozent ist der Anteil ca.
\mathl{26}{} Prozent.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (2+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ und es sei $w_1 , \ldots , w_n$ eine Familie von Vektoren in $W$.
a) Zeige, dass es maximal eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gibt.
}
{
a) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig. Da ein Erzeugendensystem vorliegt, gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } a_iv_i
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Da eine lineare Abbildung Linearkombinationen erhält, muss für eine lineare Abbildung $\varphi$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi( v)
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{ i = 1 }^{ n } a_iv_i \right) }
}
{ =} {\sum_{ i = 1 }^{ n } a_i \varphi(v_i)
}
{ =} {\sum_{ i = 1 }^{ n } a_i w_i
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Es gibt also für $\varphi(v)$ nur diese eine Möglichkeit und daher gibt es maximal ein $\varphi$.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ W
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_1
}
{ = }{ w_2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die beiden Vektoren \mathkor {} {v_1} {und} {v_2} {} sind ein Erzeugendensystem von $K$, da dies für $v_1$ allein schon gilt. Es gibt aber keine lineare Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_2)
}
{ = }{ \varphi(0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da eine lineare Abbildung $0$ auf $0$ schickt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (4+2+2)}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
a) Zeige, dass es
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{L_1 , \ldots , L_r}{} auf $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \bigcap_{i = 1}^r \operatorname{kern} L_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Zeige, dass jeder Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Kern einer linearen Abbildung auf $V$
\zusatzklammer {in einen $K^r$} {} {}
ist.
c) Zeige, dass jeder Untervektorraum des $K^n$ der Lösungsraum eines
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
ist.
}
{
a) Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$, die wir zu einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_m,v_{m+1} , \ldots , v_n}{} von $V$ ergänzen. Es sei
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{} die
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
dazu, wobei die $v_i^*$ Linearformen sind. Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \bigcap _{i = m+1}^n \operatorname{kern} v_i^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_i^*(v_j)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} v_i^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ m+1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für einen Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \notin }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_j
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \geq }{m+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Doch dann ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j^*(v)
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $v$ gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.
b) Die Linearformen
\mathl{v_{m+1}^* , \ldots , v_n^*}{} aus Teil a) kann man zusammen als eine lineare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {V} { K^{m-n}
} {v} { \left( v_{m+1}^* (v) , \, \ldots , \, v_n^*(v) \right)
} {}
schreiben. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { \bigcap _{i = m+1}^n \operatorname{kern} v_i^*
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c)
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^r
} {}
eine lineare Abbildung, deren Kern gleich $U$ ist. Bezüglich der Standardbasen wird $\varphi$ durch eine Matrix $M$ beschrieben. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Mx
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und dies bedeutet gerade, dass $x$ eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+3+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $I$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (j),j}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
\wertetabellevierausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundvier {1} {2} {3} {4
} }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundvier {3} {1} {4} {2
} }
b) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \pi} { M_\pi } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
c) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_\pi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Nach Konstruktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_\pi (e_j)
}
{ =} { e_{\pi(j)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da dies die $j$-te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_{\pi \rho}
}
{ =} { M_\pi \circ M_\rho
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( M_\pi \circ M_\rho \right) } (e_i)
}
{ =} { M_\pi ( M_\rho (e_i))
}
{ =} { M_\pi ( e_{\rho(i)})
}
{ =} { e_{ \pi ( \rho (i)) }
}
{ =} { M_{\pi \rho} (e_i)
}
}
{}{}{.}
c) Mit der Leibniz-Formel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} {\sum_{ \rho \in S_{ n } } \operatorname{sgn}(\rho ) a_{1 \rho (1)} \cdots a_{ n \rho( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Produkt ist nur in dem einen Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho
}
{ =} { \pi^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht $0$, da sonst immer mindestens ein Faktor gleich $0$ ist. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi^{-1} ) a_{1 \pi^{-1}(1)} \cdots a_{n \pi^{-1}(n) }
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi^{-1} )
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
}
{
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(Q)
}
{ =} {Q^3 -2{ \mathrm i} Q^2+ 4 Q - 1
}
{ =} {{ \left( { \mathrm i}X-3+2{ \mathrm i} \right) }^3 -2 { \mathrm i} { \left( { \mathrm i} X-3+2{ \mathrm i} \right) }^2+ 4 { \left( { \mathrm i}X-3+2{ \mathrm i} \right) } - 1
}
{ =} { -{ \mathrm i}X^3 +3 { \mathrm i}^2 (-3+2{ \mathrm i})X^2 + 3 { \mathrm i} { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^2 X + { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^3
}
{ \,\,\, \, \, \, \,} { -2{ \mathrm i} { \left( { \mathrm i}^2 X^2 +2 { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) } { \mathrm i} X + { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^2 \right) } +4{ \mathrm i}X-12+8 { \mathrm i} -1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -{ \mathrm i} X^3 +9 X^2 -6{ \mathrm i} X^2 +3{ \mathrm i} { \left( 9-4 -12 { \mathrm i} \right) }X - 27 + 54 { \mathrm i} +36 -8 { \mathrm i}
}
{ \,\,\, \,\, \, \,} { +2{ \mathrm i} X^2 -12 X +8 { \mathrm i} X -18{ \mathrm i} -24 +8 { \mathrm i} +4 { \mathrm i} X-13+8 { \mathrm i}
}
{ =} {-{ \mathrm i} X^3 + { \left( 9 - 4{ \mathrm i} \right) } X^2 +{ \left( 24 + 27 { \mathrm i} \right) }X - 28 + 44 { \mathrm i}
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{.}
Zeige direkt
\zusatzklammer {ohne charakteristisches Polynom} {} {,}
dass ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $M$ ein Diagonaleintrag von $M$ sein muss.
}
{
Es sei
\mathl{\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( d_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mathl{t \in K}{.} Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{11}x_1 + \cdots + d_{1n} x_n
}
{ =} { tx_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{22}x_2 + \cdots + d_{2n} x_n
}
{ =} { tx_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mathdisp {\vdots} { }
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{n-1 \, n-1 }x_{n-1} + d_{(n-1)n} x_n
}
{ =} { tx_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_{nn} x_n
}
{ =} { tx_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $k$ der größte Index mit
\mathl{x_k \neq 0}{,} was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die $k$-te Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{kk}x_k + \cdots + d_{kn} x_n
}
{ =} { tx_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_{kk}x_k
}
{ =} {tx_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_k
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} {d_{kk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. dass der Eigenwert $t$ ein Diagonalelement ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{.}
Zeige direkt
\zusatzklammer {ohne charakteristisches Polynom} {} {,}
dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist, wenn dies für alle $\varphi_i$ gilt.
}
{
Es seien zunächst die Komponentenabbildungen $\varphi_i$ trigonalisierbar. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_i
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und seien
\mathdisp {v_{i1} , \ldots , v_{id_i},\, i =1 , \ldots , n} { , }
Basen von $V_i$, bezüglich denen die beschreibenden Matrizen $M_i$ zu $\varphi_i$ obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung
bezüglich der durch alle Vektoren
\mathl{v_{ij}}{} gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die $M_i$ als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind $0$.
Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.
Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, sei also zur Notationsvereinfachung
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
und
\maabb {\psi} {W} {W
} {}
gegeben und sei
\maabbdisp {\varphi \times \psi} { V \times W } { V \times W
} {}
trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch $\varphi$ trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis
\mathbed {(v_k,w_k)} {}
{k= 1 , \ldots , m} {}
{} {} {} {,}
bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k_1
}
{ <} { k _2
}
{ <} { \ldots
}
{ <} { k_d
}
{ } {
}
}
{}{}{}
so gewählt
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
dass
\mathdisp {v_{k_1} , \ldots , v_{k_d}} { }
eine Basis von $V$ bilden und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_i
}
{ \in }{ \langle v_1 , \ldots , v_{i-1} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i
}
{ \neq} { k_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Die $k_j$ sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_{i} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die
\mathbed {v_k} {}
{k= 1 , \ldots , m} {}
{} {} {} {}
ganz $V$ erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \varphi \times \psi)( v_{k_j} , w_{k_j} )
}
{ =} { (\varphi ( v_{k_j} ), \psi ( w_{k_j} ))
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{k_j} c_k (v_k,w_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_{k_j})
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{k_j} c_k v_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die dabei auftretenden $v_k$ Linearkombinationen der
\mathl{v_{k_1} , \ldots , v_{k_j}}{} sind, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_{k_j})
}
{ =} { \sum_{i = 1}^j b_i v_{k_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was die Trigonalisierbarkeit von $\varphi$ bedeutet.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {3146} {und} {1515} {} mittels dieser Zahlen an.
}
{
Der euklidische Algorithmus liefert:
\mathdisp {3146 = 2 \cdot 1515 + 116} { }
\mathdisp {1515 = 13 \cdot 116 + 7} { }
\mathdisp {116 = 16 \cdot 7 + 4} { }
\mathdisp {7 = 1 \cdot 4 + 3} { }
\mathdisp {4 = 1 \cdot 3 + 1} { . }
Die Zahlen
\mathkor {} {3146} {und} {1515} {}
sind also teilerfremd und $1$ ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der $1$ erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1
}
{ =} {4 -1 \cdot 3
}
{ =} {4-(7- 1 \cdot 4)
}
{ =} {2 \cdot 4-7
}
{ =} {2(116-16 \cdot 7) -7
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2 \cdot 116 - 33 \cdot 7
}
{ =} {2 \cdot 116 - 33 (1515- 13 \cdot 116)
}
{ =} {-33 \cdot 1515 +(2 + 13 \cdot 33) \cdot 116
}
{ =} {-33 \cdot 1515 +431 \cdot 116
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-33 \cdot 1515 +431 (3146-2\cdot 1515)
}
{ =} {-895 \cdot 1515 +431 \cdot 3146
}
{ } {}
{ } {}
}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme, ob die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 14 \\ 21 \end{pmatrix}
}
{ =} { 7 \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $7$ ein Eigenwert der Matrix, sie kann also nicht nilpotent sein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} und
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{}
\definitionsverweis {affine Basen}{}{}
eines
\definitionsverweis {affinen Raumes}{}{}
$E$. Die Darstellung mit
\definitionsverweis {baryzentrischen Koordinaten}{}{}
von $P_i$ bezüglich der $Q_j$ sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ =} { \sum_{ j = 1}^n a_{ij} Q_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_i P_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezüglich der $P_i$ die baryzentrische Darstellung von $P$ bezüglich der $Q_j$.
}
{
Es sei
\mathl{R \in E}{} ein fixierter Punkt. Die baryzentrische Beschreibung der $P_i$ bezüglich der $Q_j$ liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ =} { R + \sum_{j = 1}^n a_{ij} \overrightarrow{ R Q_j }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ R P_i }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ij} \overrightarrow{ R Q_j }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n b_iP_i
}
{ =} { R + \sum_{i = 1}^n b_i \overrightarrow{ R P_i }
}
{ =} { R + \sum_{i = 1}^n b_i { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} \overrightarrow{ R Q_j } \right) }
}
{ =} { R + \sum_{j = 1}^n { \left( \sum_{i = 1}^n b_i a_{ij} \right) } \overrightarrow{ R Q_j }
}
}
{}
{}{.}
Die baryzentrischen Koordinaten von $P$ bezüglich der $Q_j$ ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum c_j Q_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_j
}
{ =} {\sum_{i = 1}^n b_i a_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen noch zeigen, dass diese Koordinaten wirklich die baryzentrische Bedingung erfüllen. Dies ergibt sich aber aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{j = 1}^n c_j
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( \sum_{i = 1}^n b_i a_{ij} \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1}^n b_i { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1}^n b_i
}
{ =} { 1
}
}
{}
{}{}
}