Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 6 5 2 3 8 7 4 4 8 3 2 5 63




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Kommutativität einer Verknüpfung
  2. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
  3. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .

  4. Die Permutationsgruppe zu einer Menge .
  5. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .

  6. Eine affin-lineare Abbildung

    zwischen den affinen Räumen und über den -Vektorräumen  bzw. .


Lösung

  1. Eine Verknüpfung

    heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  2. Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .
  3. Unter der beschreibenden Matrix zu bezüglich der Basen versteht man die -Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist.

  4. Man nennt die Menge

    der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu .

  5. Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit

    gibt.

  6. Eine Abbildung

    heißt affin-linear, wenn es eine lineare Abbildung

    mit

    für alle und gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
  2. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung
  2. Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über , wobei endlichdimensional sei. Es sei

    eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren und Linearformen auf mit

  3. Es sei . Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung


Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

Zu sei

Zu jedem und jedem seien die Abbildungen

durch

und die Abbildungen

durch

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

b) Erstelle eine Wertetabelle für

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .


Lösung

a)

b)

c) Wir behaupten

Die Komposition hat für die Elemente jeweils den folgenden Effekt:

Das Gesamtergebnis stimmt also mit überein.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.


Lösung

Es sei eine Basis von und eine Basis von . Wir betrachten die Familie der Vektoren

Wegen kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen -dimensionalen Untervektorraum von geben würde. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle sind, mit

Dieser Vektor gehört zu . Er ist nicht , da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten sein müssten.


Aufgabe (2 Punkte)

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).


Lösung

Milliliter sind Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten

Liter Milch getrunken.

Dabei hat er Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also

In Prozent ist der Anteil ca. Prozent.


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei eine Familie von Vektoren in .

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

mit für alle

geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit für alle gibt.


Lösung

a) Es sei beliebig. Da ein Erzeugendensystem vorliegt, gibt es eine Darstellung
Da eine lineare Abbildung Linearkombinationen erhält, muss für eine lineare Abbildung mit gelten

Es gibt also für nur diese eine Möglichkeit und daher gibt es maximal ein .

b) Sei und sei ,, . Die beiden Vektoren und sind ein Erzeugendensystem von , da dies für allein schon gilt. Es gibt aber keine lineare Abbildung mit , da eine lineare Abbildung auf schickt.


Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es Linearformen auf mit

gibt.

b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.


Lösung

a) Es sei eine Basis von , die wir zu einer Basis von ergänzen. Es sei die Dualbasis dazu, wobei die Linearformen sind. Wir behaupten

Wegen

für ist

für . Für einen Vektor

mit ist ein

für . Doch dann ist auch

und gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.

b) Die Linearformen kann man zusammen als eine lineare Abbildung

schreiben.

Dabei ist

Sei nun und es sei

eine lineare Abbildung, deren Kern gleich ist. Bezüglich der Standardbasen wird durch eine Matrix beschrieben. Dann ist genau dann, wenn ist, und dies bedeutet gerade, dass eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.


Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind.

a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation

b) Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.

c) Zeige, dass

ist.


Lösung

a) Es ist

b) Nach Konstruktion ist

da dies die -te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit

lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen

c) Mit der Leibniz-Formel ist

Das Produkt ist nur in dem einen Fall

nicht , da sonst immer mindestens ein Faktor gleich ist. Also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.


Lösung

Es sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies

Es sei der größte Index mit , was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die -te Gleichung

zu

und wegen

folgt

d.h. dass der Eigenwert ein Diagonalelement ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper und

lineare Abbildungen und es sei

die Produktabbildung. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle gilt.


Lösung

Es seien zunächst die Komponentenabbildungen trigonalisierbar. Es sei

und seien

Basen von , bezüglich denen die beschreibenden Matrizen zu obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung bezüglich der durch alle Vektoren gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind . Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.

Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass ist, sei also zur Notationsvereinfachung und gegeben und sei

trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis , , bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien

so gewählt (mit ), dass

eine Basis von bilden und dass genau für

gilt. Die sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume

die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die , ganz erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis

und damit insbesondere

Da die dabei auftretenden Linearkombinationen der sind, gilt

was die Trigonalisierbarkeit von bedeutet.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert:

Die Zahlen und sind also teilerfremd und ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die Matrix

nilpotent ist.


Lösung

Wegen

ist ein Eigenwert der Matrix, sie kann also nicht nilpotent sein.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und affine Basen eines affinen Raumes . Die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten von bezüglich der sei

Berechne aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes

bezüglich der die baryzentrische Darstellung von bezüglich der .


Lösung

Sei ein fixierter Punkt. Die baryzentrische Beschreibung der bezüglich der liefert

und damit insbesondere

Somit ist

Die baryzentrischen Koordinaten von bezüglich der ist also

mit

Wir müssen noch zeigen, dass diese Koordinaten wirklich die baryzentrische Bedingung erfüllen. Dies ergibt sich aber aus