Lösung
- Eine
Verknüpfung
-
heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit
-
gilt.
- Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .
- Unter der beschreibenden Matrix zu bezüglich der Basen versteht man die
-
Matrix
-
wobei die -te
Koordinate
von bezüglich der Basis ist.
- Man nennt die Menge
-
der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu .
- Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit
-
gibt.
- Eine
Abbildung
-
heißt
affin-linear,
wenn es eine
lineare Abbildung
-
mit
-
für alle und gilt.
Lösung
- Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
Basen
von . Dann stehen die
Übergangsmatrizen
zueinander in der Beziehung
-
- Es sei ein
Körper
und seien
und
Vektorräume
über , wobei
endlichdimensional
sei. Es sei
-
eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren und
Linearformen
auf mit
-
- Es sei . Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
-
Zu sei
-
Zu jedem und jedem seien die Abbildungen
-
durch
-
und die Abbildungen
-
durch
-
definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für
-
b) Erstelle eine Wertetabelle für
-
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung
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als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .
Lösung
a)
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b)
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c) Wir behaupten
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Die Komposition hat für die Elemente jeweils den folgenden Effekt:
-
-
-
-
-
-
Das Gesamtergebnis stimmt also mit überein.
Lösung
Es sei eine Basis von und eine Basis von . Wir betrachten die Familie der Vektoren
-
Wegen kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen -dimensionalen Untervektorraum von geben würde. Also gibt es Koeffizienten , die nicht alle sind, mit
-
Dieser Vektor gehört zu . Er ist nicht , da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten sein müssten.
Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon
ging in die Gewichtszunahme?
(Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).
Lösung
Milliliter sind Liter. Siddhartha hat somit in den sechs Monaten
-
Liter Milch getrunken.
Dabei hat er
Kilogramm zugenommen. Der Anteil der Gewichtszunahme an der Gesamttrinkmenge beträgt also
-
In Prozent ist der Anteil ca. Prozent.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es sei ein
Erzeugendensystem
von und es sei eine Familie von Vektoren in .
a) Zeige, dass es maximal eine
lineare Abbildung
-
mit
für alle geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
für alle gibt.
Lösung
Lösung
a) Es sei eine
Basis
von , die wir zu einer Basis von ergänzen. Es sei die
Dualbasis
dazu, wobei die Linearformen sind. Wir behaupten
-
Wegen
-
für
ist
-
für . Für einen Vektor
-
mit ist ein
-
für
.
Doch dann ist auch
-
und gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.
b) Die Linearformen kann man zusammen als eine lineare Abbildung
-
schreiben.
Dabei ist
-
Es sei nun und es sei
-
eine lineare Abbildung, deren Kern gleich ist. Bezüglich der Standardbasen wird durch eine Matrix beschrieben. Dann ist genau dann, wenn
ist, und dies bedeutet gerade, dass eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
Es sei
und sei eine
Permutation
auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass
-
ist und alle anderen Einträge sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
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b) Zeige, dass die Abbildung
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ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
c) Zeige, dass
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ist.
Lösung
a) Es ist
-
b) Nach Konstruktion ist
-
da dies die -te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit
-
lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen
-
c) Mit der Leibniz-Formel ist
-
Das Produkt ist nur in dem einen Fall
-
nicht , da sonst immer mindestens ein Faktor gleich ist. Also ist
-
Lösung
Es sei
-
eine
obere Dreiecksmatrix.
Zeige direkt
(ohne charakteristisches Polynom),
dass ein
Eigenwert
zu ein Diagonaleintrag von sein muss.
Lösung
Es sei ein
Eigenvektor
von
zum
Eigenwert
. Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, bedeutet dies
-
-
-
-
-
Es sei der größte Index mit , was es gibt, da ein Eigenvektor nicht der Nullvektor ist. Dann vereinfacht sich die -te Gleichung
-
zu
-
und wegen
-
folgt
-
d.h. dass der Eigenwert ein Diagonalelement ist.
Lösung
Es seien zunächst die Komponentenabbildungen trigonalisierbar. Es sei
-
und seien
-
Basen von , bezüglich denen die beschreibenden Matrizen zu obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung
bezüglich der durch alle Vektoren gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind .
Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.
Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass
ist, sei also zur Notationsvereinfachung
und
gegeben und sei
-
trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis
, ,
bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien
-
so gewählt
(mit
),
dass
-
eine Basis von bilden und dass
genau für
-
gilt. Die sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume
-
die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die
,
ganz erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis
-
und damit insbesondere
-
Da die dabei auftretenden Linearkombinationen der sind, gilt
-
was die Trigonalisierbarkeit von bedeutet.
Lösung
Bestimme, ob die Matrix
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nilpotent
ist.
Lösung
Wegen
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ist ein Eigenwert der Matrix, sie kann also nicht nilpotent sein.
Es seien und
affine Basen
eines
affinen Raumes
. Die Darstellung mit
baryzentrischen Koordinaten
von bezüglich der sei
-
Berechne aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes
-
bezüglich der die baryzentrische Darstellung von bezüglich der .
Lösung