Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 11 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Eine Zerlegung eines
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$ als
\stichwort {direkte Summe} {}
in die Untervektorräume
\mathl{U_1 , \ldots , U_m}{.}
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} einer
\zusatzklammer {nicht notwendigerweise endlichen} {} {}
Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine \stichwort {alternierende Abbildung} {} \maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W } {,} wobei \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ sind.
}{Die \stichwort {geometrische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein \stichwort {affiner Unterraum} {} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung}{Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.}{Der Satz über baryzentrische Koordinaten.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Diese Vorlesung versteht keine Sau}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Mengen. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n
}
{ =} { T_n \setminus { \left( \bigcup_{i = 1}^{n-1} T_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i = 1}^{n} T_i
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^{n} S_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige, dass die Vereinigung
\mathl{\bigcup_{i = 1}^{n} S_i}{} disjunkt ist, dass also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n \cap S_k
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7
} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {4} {5} {1} }
{\mazeileundzwei {1} {2} }
gegebene Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\{1,2,3,4,5,6,7\} } {\{1,2,3,4,5,6,7\}
} {.}
a) Bestimme das Bild von
\mathl{\{1,2,3\}}{} unter $\varphi$.
b) Bestimme das Urbild von
\mathl{\{4,5,6,7\}}{} unter $\varphi$.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^3
}
{ =} { \varphi \circ \varphi \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(0,1,0)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(9,6,5), (2,2,5) \text{ und } (7,3,4)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Basisaustauschsatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraumes}{}{}
des $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, für welche $x \in {\mathbb C}$ die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} x^2+x & -x \\ -x^3+2x^2+5x-1 & x^2-x \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{11 (6+5)}
{
Es sei $K$ ein Körper, \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine lineare Abbildung.
a) Zeige: $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\psi} {W} {V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi
}
{ =} {\operatorname{Id}_W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Es sei nun $\varphi$ surjektiv, es sei
\mathdisp {S= { \left\{ \psi:W \rightarrow V \mid \psi \text{ linear} , \, \varphi \circ \psi = \operatorname{Id}_W \right\} }} { }
und es sei
\mathl{\psi_0 \in S}{} fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {\operatorname{Hom}_K(W, \operatorname{kern} \varphi )} {und} {S} {,}
unter der $0$ auf $\psi_0$ abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass eine Permutation auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} genau dann die Identität ist, wenn sie keinen
\definitionsverweis {Fehlstand}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq K[X]}{} ein Ideal, das die beiden Elemente
\mathkor {} {X^2+7X+5} {und} {6X+3} {}
enthält. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über $\R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 +3M -4 E_2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
\anfuehrung{Aussage: Es sei $\lambda$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zur
\definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ =} { d_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beweis: Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert $\lambda$. Dies bedeutet die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_nx_n
}
{ =} { \lambda x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $x$ als Eigenvektor von $0$ verschiedenen sein muss, kann man durch $x_n$ dividieren und erhält
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_n
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} }{}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\Q^3} {\Q^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 7 & 8 \\ 0 & -2 & -2 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Punkten in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$. Zeige, dass durch eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
\mathl{\sum_{i \in I} a_iP_i}{}
ein eindeutiger Punkt in $E$ definiert wird.
}
{} {}