Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 4 3 3 3 8 3 3 11 4 4 4 2 3 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Körper .
  2. Eine Zerlegung eines -Vektorraumes als direkte Summe in die Untervektorräume .
  3. Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren , , in einem -Vektorraum .
  4. Eine alternierende Abbildung

    wobei und Vektorräume über sind.

  5. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Ein affiner Unterraum eines -Vektorraumes .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
  2. Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.
  3. Der Satz über baryzentrische Koordinaten.


Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei , , eine Familie von Mengen. Wir setzen

a) Zeige

b) Zeige, dass die Vereinigung disjunkt ist, dass also

für ist.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

a) Bestimme das Bild von unter .

b) Bestimme das Urbild von unter .

c) Erstelle eine Wertetabelle für


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

stehen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche die Matrix

invertierbar ist.


Aufgabe * (11 (6+5) Punkte)

Es sei ein Körper, und seien endlichdimensionale -Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung.

a) Zeige: ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung

mit

gibt.

b) Es sei nun surjektiv, es sei

und es sei fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen und , unter der auf abgebildet wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine Permutation auf genau dann die Identität ist, wenn sie keinen Fehlstand besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Ideal, das die beiden Elemente und enthält. Zeige, dass das Einheitsideal ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die -Matrizen über der Form

mit


Aufgabe * (2 Punkte)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Aussage: Es sei ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix

Dann ist

Beweis: Es sei

ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert . Dies bedeutet die Gleichheit

Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung

Da als Eigenvektor von verschiedenen sein muss, kann man durch dividieren und erhält . “


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei , , eine Familie von Punkten in einem affinen Raum . Zeige, dass durch eine baryzentrische Kombination ein eindeutiger Punkt in definiert wird.