Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 1 | 4 | 3 | 3 | 3 | 8 | 3 | 3 | 11 | 4 | 4 | 4 | 2 | 3 | 2 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Körper .
- Eine Zerlegung eines - Vektorraumes als direkte Summe in die Untervektorräume .
- Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren , , in einem - Vektorraum .
- Eine
alternierende Abbildung
wobei und Vektorräume über sind.
- Die
geometrische Vielfachheit
von einem
Eigenwert
zu einer
linearen Abbildung
auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum .
- Ein affiner Unterraum eines - Vektorraumes .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
- Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.
- Der Satz über baryzentrische Koordinaten.
Aufgabe * (1 Punkt)
Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Es sei , , eine Familie von Mengen. Wir setzen
a) Zeige
b) Zeige, dass die Vereinigung disjunkt ist, dass also
für ist.
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung
a) Bestimme das Bild von unter .
b) Bestimme das Urbild von unter .
c) Erstelle eine Wertetabelle für
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung
stehen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (8 Punkte)
Beweise den Basisaustauschsatz.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (11 (6+5) Punkte)
Es sei ein Körper, und seien endlichdimensionale -Vektorräume und sei
eine lineare Abbildung.
a) Zeige: ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung
mit
gibt.
b) Es sei nun surjektiv, es sei
und es sei fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen und , unter der auf abgebildet wird.
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass eine Permutation auf genau dann die Identität ist, wenn sie keinen Fehlstand besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Körper und ein Ideal, das die beiden Elemente und enthält. Zeige, dass das Einheitsideal ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
„Aussage: Es sei ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix
Dann ist
Beweis: Es sei
ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert . Dies bedeutet die Gleichheit
Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung
Da als Eigenvektor von verschiedenen sein muss, kann man durch dividieren und erhält . “
Aufgabe * (3 Punkte)
Eine lineare Abbildung
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix
beschrieben wird.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei , , eine Familie von Punkten in einem affinen Raum . Zeige, dass durch eine baryzentrische Kombination ein eindeutiger Punkt in definiert wird.