Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 10 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Assoziativität} {} einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M } {(x,y)} {x \circ y } {.}
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der
\stichwort {Homomorphismenraum} {}
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{} zu
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Das von den Elementen
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n \in R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ \stichwort {erzeugte Ideal} {.}
}{Eine \stichwort {alternierende Abbildung} {} \maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W } {,} wobei \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ sind.
}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}{Der Satz über die Dualbasis.}{Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau
\mathl{23}{} Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Die Funktionen
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
seien durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} {y^2-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(z)
}
{ =} { 3z+4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.
\aufzaehlungdrei{Berechne
\mathl{g \circ f}{.}
}{Berechne
\mathl{h \circ g}{.}
}{Berechne
\mathl{h \circ g \circ f}{} auf zwei unterschiedliche Arten.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(8) \,\, \, ( r+s) u = ru +su} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
eines
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschiedene Elemente.
a) Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ a_1 v_1, a_2 v_2, a_3v_3 , \ldots , a_nw_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{.}
c) Bestimme die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{.}
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3\\\vdots\\ n \end{pmatrix}}{} besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 2^2\\\vdots\\ 2^n \end{pmatrix}}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+3+1+2+1+2)}
{
Es sei $n \in \N_+$ und es sei $M$ der reelle \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} aller $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
a) Zeige, dass die Menge $S$ der \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} $n \times n$-Matrizen ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $M$ ist.
b) Bestimme die Dimension von $S$.
c) Zeige, dass die Menge $A$ der \definitionsverweis {antisymmetrischen}{}{} $n \times n$-Matrizen ein Untervektorraum von $M$ ist.
d) Bestimme die Dimension von $A$.
e) Schreibe die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} { }
als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.
f) Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} aus \mathkor {} {S} {und} {A} {} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {,}
die durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}{} gegeben ist.
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-7y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
} {Bestimme das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
der durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-3y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} die \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^7-3X^6+4X^4+5X^3+7X^2-4X+5} { }
die Variable $X$ durch die
$3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe in $\Z/(7)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=2X^3+4X^2+5} {und} {T=3X^2+X+1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{\chi_{ \varphi } \in \R[X]}{} das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem reellen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen $\varphi^n$ bestimmen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.
}
{} {}