Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 3 3 4 5 10 4 3 5 3 3 5 8 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Assoziativität einer Verknüpfung
  2. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  3. Der Homomorphismenraum zu -Vektorräumen und .
  4. Das von den Elementen in einem kommutativen Ring erzeugte Ideal.
  5. Eine alternierende Abbildung

    wobei und Vektorräume über sind.

  6. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen -Vektorraum .
  2. Der Satz über die Dualbasis.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

seien durch

und

gegeben.

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne auf zwei unterschiedliche Arten.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .


Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine Basis eines -Vektorraumes . Es seien von verschiedene Elemente.


a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Aufgabe * (10 (1+3+1+2+1+2) Punkte)

Es sei und es sei der reelle Vektorraum aller -Matrizen.

a) Zeige, dass die Menge der symmetrischen -Matrizen ein Untervektorraum von ist.

b) Bestimme die Dimension von .

c) Zeige, dass die Menge der antisymmetrischen -Matrizen ein Untervektorraum von ist.

d) Bestimme die Dimension von .

e) Schreibe die Matrix

als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.

f) Zeige, dass die direkte Summe aus und ist.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung , die durch die Matrix gegeben ist.

  1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

    gegebenen Geraden.

  2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

    gegebenen Geraden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -Vektorraum und eine lineare Abbildung , die injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung

auf einem reellen Vektorraum endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen bestimmen?


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.