Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	4	5	10	4	3	5	3	3	5	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

2. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

3. Der Homomorphismenraum ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ zu ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
4. Das von den Elementen ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ erzeugte Ideal.
5. Eine alternierende Abbildung

   $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W,$

   wobei ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ sind.

6. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Satz über die Dualbasis.
3. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau ${}23$ Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

seien durch

${}f(x)=x^{3}+x\,,$

${}g(y)=y^{2}-1\,$

und

${}h(z)=3z+4\,$

gegeben.

1. Berechne ${}g\circ f$.
2. Berechne ${}h\circ g$.
3. Berechne ${}h\circ g\circ f$ auf zwei unterschiedliche Arten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$, eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

$(8)\,\,\,(r+s)u=ru+su$

erfüllt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis eines ${}K$- Vektorraumes ${}V$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ von ${}0$ verschiedene Elemente.

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=a_{1}v_{1},a_{2}v_{2},a_{3}v_{3},\ldots ,a_{n}w_{n}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$.

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\vdots \\n\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\2^{2}\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}$ besitzt.

Aufgabe * (10 (1+3+1+2+1+2) Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}M$ der reelle Vektorraum aller ${}n\times n$- Matrizen.

a) Zeige, dass die Menge ${}S$ der symmetrischen ${}n\times n$-Matrizen ein Untervektorraum von ${}M$ ist.

b) Bestimme die Dimension von ${}S$.

c) Zeige, dass die Menge ${}A$ der antisymmetrischen ${}n\times n$-Matrizen ein Untervektorraum von ${}M$ ist.

d) Bestimme die Dimension von ${}A$.

e) Schreibe die Matrix

${\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}}$

als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.

f) Zeige, dass ${}M$ die direkte Summe aus ${}S$ und ${}A$ ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}3x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}4x-3y=0\,$

   gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, die injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$X^{7}-3X^{6}+4X^{4}+5X^{3}+7X^{2}-4X+5$

die Variable ${}X$ durch die ${}3\times 3$- Matrix

${\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=2X^{3}+4X^{2}+5$ und ${}T=3X^{2}+X+1$ durch.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}\chi _{\varphi }\in \mathbb {R} [X]$ das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem reellen Vektorraum ${}V$ endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{n}$ bestimmen?

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.