Kurs:Lineare Algebra/Teil I/22/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}
}{Die \stichwort {Elementarmatrizen} {.}
}{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}
}{Ein \stichwort {Gruppenhomomorphismus} {} zwischen \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {.}
}{Ein \stichwort {affiner Raum} {} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation \zusatzklammer {genaue Formulierung mit Basen} {} {.}}{Der Satz über die Vertauschungseigenschaft bei einer alternierenden Abbildung.}{Der Satz über die Nullstellen von Minimalpolynom und charakteristischem Polynom.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-5y+7z
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2 x+4y+3z
}
{ =} {9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 5 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(7) \,\, \, r(u+v) = ru +rv} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Basisaustauschsatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.
\aufzaehlungvier{Die Achsenspiegelung durch die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 4x-7y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Achse.
}{Die Verschiebung um den Vektor
\mathl{\left( 5 , \, -3 \right)}{.}
}{Die Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
}{Die Punktspiegelung mit dem Punkt
\mathl{(1,0)}{} als Zentrum.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den Rang der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von $M$ das Produkt der Diagonaleinträge ist \zusatzklammer {es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich $0$ ist} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Formuliere und beweise die \stichwort {Lösungsformel für eine quadratische Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax^2+bx+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathbed {a,b,c \in \R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{a \in K}{} und
\mathl{P\in K[X]}{} ein Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(a)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass
\mathl{X-a}{} und $P$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
} {Es sei
\mathl{k \in \N_+}{.} Zeige, dass
\mathl{(X-a)^k}{} und $P$ teilerfremd sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+3+1)}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1+2 { \mathrm i} \\ 0 & 3{ \mathrm i} & { \mathrm i} \\0 & 0 & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+1+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$ sei eindimensional. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} { \operatorname{kern} \varphi^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $s$ die minimale Zahl mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^s
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass alle
\mathbed {V_i} {}
{1 \leq i \leq s} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {direkte Zerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} { V_{i-1} \oplus U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $U_i$ eindimensional haben.
}{Zeige, dass die Einschränkungen
\maabbdisp {\varphi} {U_i } { V_{i-1}
} {}
für
\mathl{1< i < s}{} bijektiv sind.
}{Zeige, dass $s$ mit der Dimension von $V$ übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wie viele \definitionsverweis {jordansche Normalformen}{}{} \zusatzklammer {bis auf \definitionsverweis {Ähnlichkeit}{}{}} {} {} zu $4 \times 4$-Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert $c$ steht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.
}
{} {}