Kurs:Lineare Algebra/Teil I/22/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 5 6 8 3 2 4 3 4 2 6 4 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  3. Die Elementarmatrizen.
  4. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  5. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
  2. Der Satz über die Vertauschungseigenschaft bei einer alternierenden Abbildung.
  3. Der Satz über die Nullstellen von Minimalpolynom und charakteristischem Polynom.


Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe * (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.

  1. Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
  2. Die Verschiebung um den Vektor .
  3. Die Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
  4. Die Punktspiegelung mit dem Punkt als Zentrum.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rang der Matrix


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich ist).


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei . Zeige, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Sei ein Körper, und ein Polynom mit .

  1. Zeige, dass und teilerfremd sind.
  2. Sei . Zeige, dass und teilerfremd sind.


Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von sei eindimensional. Es sei

und die minimale Zahl mit

  1. Zeige, dass alle , , eine direkte Zerlegung

    mit eindimensional haben.

  2. Zeige, dass die Einschränkungen

    für bijektiv sind.

  3. Zeige, dass mit der Dimension von übereinstimmt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wie viele jordansche Normalformen (bis auf Ähnlichkeit) zu -Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert steht?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.