Kurs:Lineare Algebra/Teil I/23/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
mit einem
\definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}
}{Ein \stichwort {kommutativer} {} \definitionsverweis {Ring}{}{} $R$.
}{Die \stichwort {transponierte Matrix} {} zu einer
\mathl{m \times n}{-}Matrix $M=(a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}$.
}{Der $i$-te \stichwort {Standardvektor} {} im $K^n$.
}{Eine
\stichwort {multilineare} {}
Abbildung
\maabbdisp {\Phi} {V_1 \times \cdots \times V_n} {W
} {,}
wobei
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ sind.
}{Das \stichwort {Minimalpolynom} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über $n$ Vektoren in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}{Der Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante.}{Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $M$ eine Menge. Wir betrachten die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) \times \mathfrak {P} \, (M )} { \mathfrak {P} \, (M ) } {(A,B)} { A \setminus B } {.} Ist diese Verknüpfung \definitionsverweis {assoziativ}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{ i = 0}^ {n} (-1)^{i} \binom { n } { i } 2^i
}
{ =} { (-1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, - w & = & 3 \\ -2 x &
+5 y &
-3 z &
+ w & = & 0 \\ x &
\, \, \, \, - y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 5 x &
+2 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme den Rang der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ x & x^2 & x^3 \\x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}} { }
zu
\mathl{x \in K}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+6 { \mathrm i} & 8-3 { \mathrm i} \\ 5 - { \mathrm i} & 3+ 7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} { 3} {\ldots } {n-2} }
{\mazeileundzwei {n-1 } {n} }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {3} {4} {\ldots} {n-1} }
{\mazeileundzwei {n} {1} }
gegebene Permutation $\pi$ zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
von $\pi$ auf möglichst viele unterschiedliche Arten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Von einem Rechteck sind der Umfang $U$ und die Fläche $A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{.}
\aufzaehlungzwei {Führe in $\Q[X]$ die
\definitionsverweis {Division mit Rest}{}{}
\anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mathkor {} {P=X^{n-1} + X^ {n-2} + \cdots + X^2+X+1} {und} {T=X-1} {} durch.
} {Finde eine Darstellung der $1$ mit diesen beiden Polynomen. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und sei $Q$ das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $\varphi$. Zeige, dass $0$ genau dann eine Nullstelle von $Q$ ist, wenn $\varphi$ nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} { V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in $V$. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
derart gibt, dass diese Fahne die einzige
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Jordan-Matrix}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
der Potenzen
\mathl{M^n}{} für alle
\mathl{n \in \N_+}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Finde eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x+y-3z+5w
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}