Kurs:Lineare Algebra/Teil I/23/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 4 4 4 1 8 1 6 4 3 3 4 7 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

    mit einem neutralen Element .

  2. Ein kommutativer Ring .
  3. Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .
  4. Der -te Standardvektor im .
  5. Eine multilineare Abbildung

    wobei Vektorräume über einem Körper sind.

  6. Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Vektoren in einem -dimensionalen -Vektorraum .
  2. Der Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante.
  3. Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme den Rang der Matrix

zu .


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Permutation zu

Bestimme das Signum von auf möglichst viele unterschiedliche Arten.


Aufgabe * (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Sei .

  1. Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.
  2. Finde eine Darstellung der mit diesen beiden Polynomen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und sei das Minimalpolynom von . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn nicht injektiv ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum über einem Körper . Es sei

eine Fahne in . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

derart gibt, dass diese Fahne die einzige -invariante Fahne ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine Jordan-Matrix. Bestimme die jordansche Normalform der Potenzen für alle .


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung