Kurs:Lineare Algebra/Teil I/23/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	4	4	4	1	8	1	6	4	3	3	4	7	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Ein inverses Element zu einem Element ${}x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung
$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

mit einem neutralen Element ${}e\in M$ .
Ein kommutativer Ring ${}R$ .
Die transponierte Matrix zu einer ${}m\times n$ -Matrix ${}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$ .
Der ${}i$ -te Standardvektor im ${}K^{n}$ .
Eine multilineare Abbildung
$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W,$

wobei ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ sind.
Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung
$f\colon V\longrightarrow V$

auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über ${}n$ Vektoren in einem ${}n$ - dimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ .
Der Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante.
Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}M$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

{\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise

{}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}=(-1)^{n}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}x&+y&+z&\,\,\,\,-w&=&3\\-2x&+5y&-3z&+w&=&0\\x&\,\,\,\,-y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\5x&+2y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum ${}U\subseteq V$ .

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme den Rang der Matrix

{\begin{pmatrix}1&x&x^{2}\\x&x^{2}&x^{3}\\x^{2}&x^{3}&x^{4}\end{pmatrix}}

zu ${}x\in K$ .

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix

{\begin{pmatrix}2+6{\mathrm {i} }&8-3{\mathrm {i} }\\5-{\mathrm {i} }&3+7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}\ldots$	${}n-2$	${}n-1$	${}n$
${}\pi (x)$	${}2$	${}3$	${}4$	${}\ldots$	${}n-1$	${}n$	${}1$

gegebene Permutation ${}\pi$ zu

{}n\geq 2\,.

Bestimme das Signum von ${}\pi$ auf möglichst viele unterschiedliche Arten.

Aufgabe * (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang ${}U$ und die Fläche ${}A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$ .

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „ ${}P$ durch ${}T$ “ für die beiden Polynome ${}P=X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X^{2}+X+1$ und ${}T=X-1$ durch.
Finde eine Darstellung der ${}1$ mit diesen beiden Polynomen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung und sei ${}Q$ das Minimalpolynom von ${}\varphi$ . Zeige, dass ${}0$ genau dann eine Nullstelle von ${}Q$ ist, wenn ${}\varphi$ nicht injektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.