Kurs:Lineare Algebra/Teil I/26/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Potenzmenge} {} zu einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Isomorphismus} {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Transposition} {} auf einer endlichen Menge $M$.
}{Die \stichwort {adjungierte Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{.}
}{Ein
\stichwort {affiner Isomorphismus} {}
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
über den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {Basisaustauschlemma} {.}}{Die Formel für die Determinante für eine obere Dreiecksmatrix.}{Der Satz über Ideale in einem Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen über einem Körper $K$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+2)}
{
Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy währ\-end ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x
}
{ \geq} {7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x
}
{ \leq} { 12
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x &
+2 y &
+ z &
-7 w & = & 3 \\ 6 x &
+ y &
+2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \\ x &
+ y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 0 \\ 3 x &
+5 y &
-7 z &
+14 w & = & 1 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U, V
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Mat}_{ 3 } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { { \left\{ M = { \left( a_{ij} \right) } \in \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) \mid a_{31} = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { { \left\{ M = { \left( a_{ij} \right) } \in \operatorname{Mat}_{ 3 } (K) \mid a_{21} = 0 \text{ und } a_{31} = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
\aufzaehlungzwei {Ist $U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
} {Ist $V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {V, Q} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei
\maabb {\varphi} {V} { W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\maabb {\psi} {V} {Q
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive}{}{}
lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q } { W
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit $5$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\maabbdisp {\triangle} {V \times V \times V} {K
} {}
eine
\definitionsverweis {multilineare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es seien $u,v,w,z \in V$. Ziehe in
\mathdisp {\triangle \begin{pmatrix} -4u+5w \\7v-3z\\ -6w-9z \end{pmatrix}} { }
Summen und Skalare nach außen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 7 & 4 & 11 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & 7 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2z & 0 & -z+1 \\ 1 & 1 & 3 \\z & 2 & -z \end{pmatrix}} { }
nicht invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\wertetabellezehnausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundfuenf {6} {7} {8} {9} {10
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {10} {1} {8} {7} }
{\mazeileundfuenf {2} {9} {6} {5} {3} }
\aufzaehlungdrei{Berechne $\sigma^2$.
}{Bestimme die Zykelzerlegung von $\sigma$.
}{Berechne das
\definitionsverweis {Vorzeichen}{}{}
von $\sigma$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {X^3-2X^2+5X+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-2) =3,\, f(0) = 2,\, f(1) = 4} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ f }$ und das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_f}{} die gleichen Nullstellen besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{U}{} zu jedem
\mathl{\lambda \in K}{} invariant bezüglich
\mathl{\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Ist die Menge der
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des Matrizenraums
\mathl{\operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ der Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 6 \end{pmatrix} + { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 9 \\0\\ 9 \end{pmatrix} + { \frac{ 3 }{ 13 } } \begin{pmatrix} 5 \\5\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
ist.
}
{} {}