Kurs:Lineare Algebra/Teil I/26/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	5	1	4	2	3	7	3	3	1	4	3	3	3	5	1	2	6	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$.
2. Ein Isomorphismus zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
3. Elementare Zeilenumformungen an einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Eine Transposition auf einer endlichen Menge ${}M$.
5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
6. Ein affiner Isomorphismus

   $\psi \colon E\longrightarrow F$

   zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Basisaustauschlemma.
2. Die Formel für die Determinante für eine obere Dreiecksmatrix.
3. Der Satz über Ideale in einem Polynomring ${}K[X]$ in einer Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}2x\geq 7\,$

und

${}5x\leq 12\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}5x&+2y&+z&-7w&=&3\\6x&+y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\x&+y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&0\\3x&+5y&-7z&+14w&=&1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Untervektorräume ${}U,V\subseteq \operatorname {Mat} _{3}(K)$, die durch

${}U={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{31}=0\right\}}\,$

bzw.

${}V={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{21}=0{\text{ und }}a_{31}=0\right\}}\,$

gegeben sind.

1. Ist ${}U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
2. Ist ${}V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart gibt, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$

über dem Körper mit ${}5$ Elementen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\triangle \colon V\times V\times V\longrightarrow K$

eine multilineare Abbildung. Es seien ${}u,v,w,z\in V$. Ziehe in

$\triangle {\begin{pmatrix}-4u+5w\\7v-3z\\-6w-9z\end{pmatrix}}$

Summen und Skalare nach außen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix

${\begin{pmatrix}0&7&4&11&8\\0&0&3&7&6\\0&0&0&1&5\\0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen ${}z$, für die die Matrix

${\begin{pmatrix}2z&0&-z+1\\1&1&3\\z&2&-z\end{pmatrix}}$

nicht invertierbar ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$	${}10$
${}\sigma (x)$	${}4$	${}10$	${}1$	${}8$	${}7$	${}2$	${}9$	${}6$	${}5$	${}3$

1. Berechne ${}\sigma ^{2}$.
2. Bestimme die Zykelzerlegung von ${}\sigma$.
3. Berechne das Vorzeichen von ${}\sigma$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die ${}x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

${}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,$

und

${}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen besitzen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass ${}U$ zu jedem ${}\lambda \in K$ invariant bezüglich ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ist die Menge der nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen ein Untervektorraum des Matrizenraums ${}\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$?

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ der Ausdruck

${\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2\\7\\6\end{pmatrix}}+{\frac {3}{7}}{\begin{pmatrix}9\\0\\9\end{pmatrix}}+{\frac {3}{13}}{\begin{pmatrix}5\\5\\2\end{pmatrix}}$

eine baryzentrische Kombination ist.