Kurs:Lineare Algebra/Teil I/26/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 5 1 4 2 3 7 3 3 1 4 3 3 3 5 1 2 6 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

    und

  2. Ein Isomorphismus zwischen -Vektorräumen und .
  3. Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .
  4. Eine Transposition auf einer endlichen Menge .
  5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix .
  6. Eine Fahne in einem -dimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Basisaustauschlemma.
  2. Die Formel für die Determinante für eine obere Dreiecksmatrix.
  3. Der Satz über Ideale in einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper .


Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Untervektorräume , die durch

bzw.

gegeben sind.

  1. Ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
  2. Ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. bilden eine Basis von .
  2. bilden ein Erzeugendensystem von .
  3. sind linear unabhängig.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei eine lineare Abbildung und eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

ist. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

derart gibt, dass gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Ordnung der Matrix

über dem Körper mit Elementen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei

eine multilineare Abbildung. Es seien . Ziehe in

Summen und Skalare nach außen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen , für die die Matrix

nicht invertierbar ist.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Permutation

  1. Berechne .
  2. Bestimme die Zykelzerlegung von .
  3. Berechne das Vorzeichen von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und


Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom die gleichen Nullstellen besitzen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei eine lineare Abbildung auf einem -Vektorraum und es sei ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass zu jedem invariant bezüglich ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Ist die Menge der nilpotenten -Matrizen ein Untervektorraum des Matrizenraums ?


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob im der Ausdruck

eine baryzentrische Kombination ist.