Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Teiltest/Klausur/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 5 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 8 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}

}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}

}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.

}{Der \stichwort {Dualraum} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$.

}{Die \stichwort {Permutationsgruppe} {} zu einer Menge $M$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}{Der \stichwort {Determinantenmultiplikationssatz} {.}}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume
\mathl{U_1,U_2,U_3}{} in einem Vektorraum $V$ derart, dass
\mathl{V=U_1+U_2+U_3}{} ist, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_j }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \neq }{j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} zwischen den $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.} Es sei
\mathl{v \in V}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v) }
{ = }{- \varphi(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+2)}
{

Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy währ\-end ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{

Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten. \aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser. }{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser. }{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser. }{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser. }

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+4)}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{U \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass es \definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{L_1 , \ldots , L_r}{} auf $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \bigcap_{i = 1}^r \operatorname{kern} L_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des $K^n$ der Lösungsraum eines \definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Drücke die Vektoren
\mathl{u_1^*,u_2^*}{} der \definitionsverweis {Dualbasis}{}{} zur Basis
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix},\, u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}}{} im $\R^2$ als \definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} bezüglich der Standarddualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} aus.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+2+1)}
{

Wir betrachten die durch die Wertetabelle \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(x)$ }
{\mazeileundfuenf {3} {5} {1} {7} {8} }
{\mazeileunddrei {2} {6} {4} } gegebene Abbildung $F$ von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \{1,2 , \ldots , 8\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in sich selbst. \aufzaehlungfuenf{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^2 }
{ = }{ F \circ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^3 }
{ = }{ F \circ F \circ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen $F^n$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{} sind. }{Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }{Bestimme das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{} \zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { a+bX+cX^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }

}
{} {}