Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Teiltest/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 1 5 4 4 4 4 8 3 6 8 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  2. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  3. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Die Determinante einer -Matrix .
  6. Die Permutationsgruppe zu einer Menge .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
  2. Der Determinantenmultiplikationssatz.
  3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume in einem Vektorraum derart, dass ist, dass für ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Es sei . Zeige .


Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es Linearformen auf mit

gibt.

b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Aufgabe * (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung von in sich selbst.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Erstelle eine Wertetabelle für .
  3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
  4. Bestimme für jedes das minimale mit der Eigenschaft, dass

    ist.

  5. Bestimme das minimale mit der Eigenschaft, dass

    für alle ist.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.