Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 12 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}
}{Die \stichwort {Elementarmatrizen} {.}
}{Eine \stichwort {Determinantenfunktion} {} \maabbdisp {\triangle} {V^n} {K } {,} wobei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.
}{Ein \stichwort {Gruppenhomomorphismus} {} zwischen \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {.}
}{Ein \stichwort {affiner Raum} {} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Charakterisierungssatz} {}
für eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}{Der Satz über Ideale in einem Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen über einem Körper $K$.}{Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit $V$ \zusatzklammer {vordere Tafel} {} {,} $M$ \zusatzklammer {mittlere Tafel} {} {} und $H$ \zusatzklammer {hintere Tafel} {} {} bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur \zusatzklammer {maximal} {} {} zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge \zusatzklammer {alle Möglichkeiten} {!} {} muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12}
{
Beweise den
\stichwort {Charakterisierungssatz} {}
für eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Drücke die Vektoren
\mathl{u_1^*,u_2^*}{} der
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
zur Basis
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix},\, u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}}{} im $\R^2$ als
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
bezüglich der Standarddualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$ jedes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Es sei eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} mit dem Minimalpolynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+3)}
{
a) Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,} aber weder \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} noch \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+2)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Charakterisiere die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
$2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}} { }
über $K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen
\mathl{x,y,z,w}{.}
b) Sind die Gleichungen linear?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+2+2)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\Q^3} {\Q^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & -6 & -1 \\ 0 & -3 & -2 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
den wir auch als
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ bildet, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{} eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
bildet.
}
{} {}