Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 2 12 3 3 5 5 6 5 4 6 3 1 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  3. Die Elementarmatrizen.
  4. Eine Determinantenfunktion

    wobei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper ist.

  5. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .
  2. Der Satz über Ideale in einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper .
  3. Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.


Aufgabe * (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.


Aufgabe * (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper jedes Ideal ein Hauptideal ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine -Matrix über gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom mit dem Minimalpolynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.


Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

a) Es sei eine -Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer -Matrix , die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Sei ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten -Matrizen

über mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen .

b) Sind die Gleichungen linear?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über .

a) Bestimme die jordansche Normalform von .

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

welche nicht?


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ein -Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien . Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine Basis von bildet, wenn die Familie eine affine Basis bildet.