Kurs:Lineare Algebra/Teil I/50/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 7 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 51 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Urbild} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter einer Abbildung
\maabb {F} {L} {M} {.}
}{Eine \stichwort {Basis} {} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraums}{}{} $V$.
}{Der
\stichwort {Orthogonalraum} {}
zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {affine Basis} {} in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$ über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Basisergänzungssatz} {.}}{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.}{Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Fallunterscheidung} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit. \aufzaehlungzwei {Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau $13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen? } {Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau $12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel
\mathdisp {( a + b )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 5 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixiertes Element.
a) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid F(a) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ist.
b) Bestimme ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise, dass der Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$ selbst kein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+2+2)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & -1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & -1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ der Ausdruck
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \begin{pmatrix} 2 \\7\\ 6 \end{pmatrix} + { \frac{ 3 }{ 7 } } \begin{pmatrix} 9 \\0\\ 9 \end{pmatrix} + { \frac{ 3 }{ 13 } } \begin{pmatrix} 5 \\5\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}