Kurs:Lineare Algebra/Teil I/50/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	2	5	7	5	5	5	1	2	3	2	6	6	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Urbild zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ unter einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
3. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

   ${}U\subseteq V\,$

   in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

4. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Basisergänzungssatz.
2. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
3. Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}8,6$ Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$

für ${}n\in \mathbb {N}$ und beliebige Elemente ${}a,b\in K$ in einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n,p\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times p}(K),\,(A,B)\longmapsto A\circ B,$

die einem Paar, bestehend aus einer ${}m\times n$-Matrix ${}A$ und einer ${}n\times p$-Matrix ${}B$ ihr Matrixprodukt ${}A\circ B$ zuordnet.

a) Gibt es Situationen, wo ${}\Psi$ injektiv ist?

b) Zeige, dass ${}\Psi$ bei ${}p=1$ surjektiv ist.

c) Zeige, dass ${}\Psi$ bei ${}m=n=p$ surjektiv ist.

d) Beschreibe eine Situation, wo ${}\Psi$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}5\\0\\3\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\-1\\4\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige

${}\det M=\det A\cdot \det D\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]_{\leq d}$ der ${}K$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${}\leq d$. Zu ${}z\in K$ bezeichne ${}\operatorname {Ev} _{z}$ die Auswertung an ${}z$, also die Abbildung

$\operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).$

Zeige, dass ${}\operatorname {Ev} _{z}$ linear ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise, dass der Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ selbst kein Körper ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es seien ${}\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ reelle Zahlen mit ${}\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$ und mit ${}\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1$.

a) Berechne

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\beta &-\alpha \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\gamma &\delta \\\delta &-\gamma \end{pmatrix}}.$

b) Erfüllen die Einträge der ersten Spalte der Produktmatrix die gleiche Bedingung?

c) Ist diese Produktmatrix wieder von der gleichen Bauart?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}\pi &0&0\\0&3,14&0\\0&0&3,14\end{pmatrix}}\,$

die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten.

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ von ${}M$.

b) Berechne die Potenzen ${}M^{2},M^{3},M^{4}$.

c) Überprüfe den Satz von Cayley-Hamilton für ${}M$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{4}$ der Ausdruck

${\frac {3}{4}}{\begin{pmatrix}2\\17\\-17\\6\end{pmatrix}}-{\frac {2}{7}}{\begin{pmatrix}9\\9\\0\\9\end{pmatrix}}+{\frac {3}{11}}{\begin{pmatrix}1\\3\\2\\-3\end{pmatrix}}+{\frac {81}{308}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$

eine baryzentrische Kombination ist.