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Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 1 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 8 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 6 }

\renewcommand{\aelf}{ 7 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 1 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{K}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Potenzmenge} {} zu einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}

}{Die \stichwort {Spur} {} zu einer \definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{} $M$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$.

}{Eine \stichwort {nilpotente} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Ein \stichwort {affiner Isomorphismus} {} \maabbdisp {\psi} {E} {F } {} zwischen den \definitionsverweis {affinen Räumen}{}{} \mathkor {} {E} {und} {F} {} über den $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}{Der Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.}{Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay $4$ Stunden \zusatzklammer {in Paraguay wurde es $4$ Stunden später hell} {} {.} Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von $2$ auf $3$ vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und \maabb {f} {L} {M } {} und \maabb {g} {M} {N } {} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Zeige, dass für jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{-1} { \left( g^{-1} (U) \right) } }
{ =} { { \left( g \circ f \right) }^{-1} (U) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1} }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(1,0,0)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(1,-2,5), (4,0,3) \text{ und } (2,1,1)} { }
aus.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{


a) Bestimme, ob die \definitionsverweis {komplexe}{}{} \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.


b) Finde eine Lösung für das \definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+2+4)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen.

a) Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der Dimension $d$. Wie viele Elemente besitzt $V$?

b) Zeige, dass ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} genau dann endlich ist, wenn er \definitionsverweis {endlichdimensional}{}{} ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein $d$-dimensionaler $K$-Vektorraum?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei \maabb {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} die durch die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {} festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen \zusatzklammer {bei gegebenen Basen} {} {} bijektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} seien \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Zeige im \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U_1 \cap U_2 \right) } ^{ { \perp } } }
{ =} { U_1^{ { \perp } } + U_2^{ { \perp } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$ mit dem \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { F_1 \cdots F_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Faktorzerlegung in Polynome $F_i$ von positivem Grad. Zeige, dass
\mathl{F_i(M)}{} nicht \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

\anfuehrung{Zu zwei quadratischen $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathl{M,N}{} gilt für die \definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N } }
{ =} { \chi_{ M } \chi_{ N } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach Definition ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N } }
{ =} { \det \left( XE_n - M \circ N \right) }
{ =} { \det \left( XE_n - M \right) \det \left( XE_n - N \right) }
{ =} { \chi_{ M } \cdot \chi_{ N } }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige die folgenden Identitäten in $V$. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overrightarrow{ P P } }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overrightarrow{ P Q } }
{ = }{- \overrightarrow{ Q P } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ P Q } + \overrightarrow{ Q R } }
{ = }{ \overrightarrow{ P R } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q,R }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}