Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 2 1 3 4 8 5 6 7 6 3 1 7 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Potenzmenge zu einer Menge .
  2. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  3. Die Spur zu einer quadratischen Matrix über einem Körper .
  4. Die Determinante einer -Matrix .
  5. Eine nilpotente lineare Abbildung

    auf dem -Vektorraum .

  6. Ein affiner Isomorphismus

    zwischen den affinen Räumen und über den -Vektorräumen  bzw. .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
  2. Der Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
  3. Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten.


Aufgabe * (2 Punkte)

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay Stunden (in Paraguay wurde es Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von auf vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Mengen und und Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe * (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem


Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

a) Es sei ein -Vektorraum der Dimension . Wie viele Elemente besitzt ?

b) Zeige, dass ein -Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein -dimensionaler -Vektorraum?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

die durch die Matrix (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basis und .


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum die Gleichheit


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine -Matrix über mit dem Minimalpolynom . Es sei

eine Faktorzerlegung in Polynome von positivem Grad. Zeige, dass nicht bijektiv ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen -Matrizen gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

Nach Definition ist nämlich

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum . Zeige die folgenden Identitäten in .

  1. für .
  2. für .
  3. für ,