Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	1	3	4	8	5	6	7	6	3	1	7	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$.
2. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

3. Die Spur zu einer quadratischen Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
5. Eine nilpotente lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf dem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Ein affiner Isomorphismus

   $\psi \colon E\longrightarrow F$

   zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

2. Der Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
3. Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten.

Aufgabe * (2 Punkte)

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay ${}4$ Stunden (in Paraguay wurde es ${}4$ Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von ${}2$ auf ${}3$ vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}f\colon L\rightarrow M$ und ${}g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge ${}U\subseteq N$ die Beziehung

${}f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}={\left(g\circ f\right)}^{-1}(U)\,$

gilt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$

für alle ${}x\in G$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

$(1,0,0)$

als Linearkombination der Vektoren

$(1,-2,5),(4,0,3){\text{ und }}(2,1,1)$

aus.

Aufgabe * (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

${}M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

a) Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}d$. Wie viele Elemente besitzt ${}V$?

b) Zeige, dass ein ${}K$- Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein ${}d$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die durch die Matrix ${}M={\begin{pmatrix}5&1\\2&3\end{pmatrix}}$ (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum ${}{V}^{*}$ die Gleichheit

${}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$ mit dem Minimalpolynom ${}P\in K[X]$. Es sei

${}P=F_{1}\cdots F_{k}\,$

eine Faktorzerlegung in Polynome ${}F_{i}$ von positivem Grad. Zeige, dass ${}F_{i}(M)$ nicht bijektiv ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen ${}n\times n$- Matrizen ${}M,N$ gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

${}\chi _{M\circ N}=\chi _{M}\chi _{N}\,.$

Nach Definition ist nämlich

${}\chi _{M\circ N}=\det \left(XE_{n}-M\circ N\right)=\det \left(XE_{n}-M\right)\det \left(XE_{n}-N\right)=\chi _{M}\cdot \chi _{N}\,,$

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige die folgenden Identitäten in ${}V$.

1. ${}{\overrightarrow {PP}}=0$ für ${}P\in E$.
2. ${}{\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}$ für ${}P,Q\in E$.
3. ${}{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}$ für ${}P,Q,R\in E$.