Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 11 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}
}{Eine
\mathl{m \times n}{-}\stichwort {Matrix} {} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Eine \stichwort {Projektion} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Eine \stichwort {affine Basis} {} in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$ über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbdisp {G} {M} {L} {,}
die jedes Element
\mathl{y \in M}{} auf das eindeutig bestimmte Element
\mathl{x \in L}{} mit
\mathl{F(x)= y}{} abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$.
}{Eine
\mathl{m \times n}{-}Matrix über $K$ ist ein Schema der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { , }
wobei die
\mathl{a_{ij}}{} aus $K$ sind.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} {{ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Kern von $\varphi$.
}{Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
heißt
Projektion,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^2
}
{ =} { \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_n - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt charakteristisches Polynom von $M$.
}{Eine Familie von Punkten
\mathbed {P_i \in E} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einem
\definitionsverweis {affine Raum}{}{}
$E$ über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ heißt eine
affine Basis
von $E$, wenn zu einem
\mathl{i_0 \in I}{} die Vektorfamilie
\mathbeddisp {\overrightarrow{ P_{i_0} P_i }} {}
{i \in I \setminus \{ i_0\}} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.}{Die \stichwort {Cramersche Regel} {} zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
Vektorräume über $K$. Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von $V$ und es seien
\mathbed {w_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
Elemente in $W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
\maabbdisp {f} {V} {W
} {} mit
\mathdisp {f(v_i)= w_i \text { für alle } i \in I} { . }
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ n 1 } x _1 + a _{ n 2 } x _2 + \cdots + a _{ n n } x _{ n } & = & c_n \end{matrix}} { }
ein
\definitionsverweis {inhomogenes lineares Gleichungssystem}{}{}
Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix
\mathl{M=(a_{ij})_{ij}}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
sei. Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_j$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_j
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1, j -1 } & c _1 & a_{1 , j +1} & \cdots & a_{1 n }
\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ a_{ n 1} & \cdots & a_{ n , j -1 } & c_{ n } & a_{ n , j +1} & \cdots & a_{ n n }
\end{pmatrix} }{ \det M } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ = }{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
zu $\varphi$ bezüglich dieser Basis. Dann ist
\mathl{v \in V}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $\varphi$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$a$, wenn das
\definitionsverweis {Koordinatentupel}{}{}
zu $v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $a$ ist.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es soll Holz unterschiedlicher Länge
\zusatzklammer {ohne Abfall} {} {}
in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und
\mathl{40}{} cm lang sein sollen
\zusatzklammer {jeweils einschließlich} {} {.}
Für welche Holzlängen ist dies möglich?
}
{
Es sei $\ell$ die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für
\mathl{\ell < 30}{} ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{30
}
{ \leq }{ \ell
}
{ \leq }{40
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{40
}
{ < }{ \ell
}
{ < }{60
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{60
}
{ \leq }{ \ell
}
{ \leq }{80
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man das Stück in zwei
\zusatzklammer {beispielsweise gleichgroße} {} {}
Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{80
}
{ < }{ \ell
}
{ < }{90
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\ell
}
{ \geq} {90
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 s
}
{ \leq} { \ell
}
{ <} { 30 (s+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn man $\ell$ durch $s$ dividiert, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30
}
{ \leq} { { \frac{ \ell }{ s } }
}
{ <} { { \frac{ 30 (s+1) }{ s } }
}
{ =} { 30 { \frac{ (s+1) }{ s } }
}
{ \leq} { 30 { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} {40
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel
\mathdisp {( a + b )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Körper $K$.
}
{
Wir führen Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^0b^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (a+b)^{n+1}
}
{ =} { (a+b) (a+b)^n
}
{ =} { (a+b) { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { a { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } + b { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k+1} b^{n - k} + \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } a^{k} b^{n - k+1} + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } { \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k}
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Betrachte die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} läuft, \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.
}
{
Wir nehmen an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n q_i \ln p_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, wobei
\mathl{p_1 , \ldots , p_n}{} verschiedene Primzahlen und
\mathl{q_1 , \ldots , q_n}{} rationale Zahlen sind. Diese müssen wir als $0$ nachweisen. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass die $q_i$ ganze Zahlen sind. Wir wenden die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
auf die obige Gleichung an und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^{\sum_{i = 1}^n q_i \ln p_i }
}
{ =} { e^{q_1 \ln p_1 } \cdots e^{q_n \ln p_n }
}
{ =} { \prod_{ i = 1}^n p_i^{q_i}
}
{ =} { e^0
}
{ =} { 1
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Teilmenge aller $i$, für die der Exponent $q_i$ nichtnegativ ist. Durch Sortieren erhalten wir eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i \in I} p_i^{q_i}
}
{ =} { \prod_{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} } \setminus I} p_i^{- q_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine positive natürliche Zahl und wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung müssen alle $q_i=0$ sein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Im $\R^3$ seien die beiden
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} besitzt eine Darstellung
\mathdisp {s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix}} { . }
Die Koeffiziententupel
\mathl{(s,t,p,q)}{} bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 & -5 \\ 1 & -2 & -1 & -2 \\ 7 & 9 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\t\\ p\\q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { , }
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
\mathdisp {I'=I-3II: \, \, -s+10t + q = 0} { }
und die dritte Gleichung durch
\mathdisp {III'= III-4I':\, \, 11 s -31 t = 0} { . }
Wir wählen
\mathl{s=31}{,} sodass
\mathl{t=11}{} sein muss. Dies legt eindeutig $q$ und dann auch $p$ fest. Daher ist der Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} eindimensional und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 31 \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} +11 \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 62+44 \\31-22\\ 217+99 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 106 \\9\\ 316 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ein Basisvektor von
\mathl{U \cap V}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume
\mathl{U_1,U_2,U_3}{} in einem Vektorraum $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U_1+U_2+U_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_j
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ = }{ Ke_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2
}
{ = }{ Ke_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_3
}
{ = }{ K \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Summe der drei Unterräume ist $K^2$, da dies schon für die ersten beiden Unterräume gilt. Da die drei Vektoren paarweise linear unabhängig sind, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_i \cap U_j
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{i \neq j}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 +U_2
}
{ =} {K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(U_1+U_2) \cap U_3
}
{ =} {U_3
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist die Summe nicht direkt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ =} { \varphi(0+0)
}
{ =} { \varphi(0) + \varphi(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Addition mit dem negativen Element zu
\mathl{\varphi(0)}{,} also mit $- \varphi(0)$, ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} z & 2 & 2z+1 \\ 3 & 1 & 4 \\z & 5 & z \end{pmatrix}} { }
nicht invertierbar ist.
}
{
Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\neq 0$ ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist
\zusatzklammer {nach der Regel von Sarrus} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z^2 +8z +30z +15 -2z^2-z -20 z -6z
}
{ =} { -z^2 +11 z +15
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist gleich $0$ genau dann, wenn
\mathdisp {z^2-11z-15 =0} { }
ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( z- { \frac{ 11 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} {15 + { \frac{ 121 }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 181 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind
\mathdisp {z_1= { \frac{ \sqrt{181} }{ 2 } } + { \frac{ 11 }{ 2 } } = { \frac{ 11 + \sqrt{181} }{ 2 } } \text{ und } z_2 = - { \frac{ \sqrt{181} }{ 2 } } + { \frac{ 11 }{ 2 } } = { \frac{ 11 - \sqrt{181} }{ 2 } }} { }
die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen
\zusatzklammer {reellen oder komplexen} {} {}
Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz, dass das \definitionsverweis {Signum}{}{} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{
Es seien zwei Permutationen
\mathkor {} {\pi} {und} {\rho} {}
gegeben. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{sgn}( \pi \circ \rho )
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ ( \pi \circ \rho) ( j ) - ( \pi \circ \rho) ( i )}{ j - i }
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j } \frac{ ( \pi \circ \rho )(j)
- ( \pi \circ \rho )(i) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } \prod_{ i < j } \frac{ \rho( j ) - \rho( i )}{ j - i }
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) < \rho(j) } \frac{ \pi( \rho (j)) - \pi( \rho (i)) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) > \rho(j) } \frac{ \pi( \rho (j)) - \pi( \rho (i)) }{ \rho(j)- \rho (i) } \right) } \, \operatorname{sgn}(\rho )
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) < \rho(j)} \frac{ \pi( \rho (j)) - \pi( \rho (i)) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) > \rho(j) } \frac{ \pi( \rho (i)) - \pi( \rho (j)) }{ \rho (i)- \rho (j) } \right) } \, \operatorname{sgn}(\rho)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \prod_{ k < \ell } \frac{ \pi( \ell ) - \pi( k )}{ \ell - k } \operatorname{sgn}(\rho )
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi) \operatorname{sgn}(\rho)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{
Das charakteristische Polynom ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-2 & 0 & -5 \\ 0 & x+1 & 0 \\-8 & 0 & x-5 \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-2)(x+1)(x-5) -40 (x+1)
}
{ =} { (x+1)( (x-2)(x-5) -40)
}
{ =} { (x+1) (x^2 -7x-30)
}
}
{}
{}{.}
Dies ergibt zunächst den Eigenwert $-1$. Durch quadratisches Ergänzen
\zusatzklammer {oder direkt} {} {}
sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen
\mathkor {} {-3} {und} {10} {,}
die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.
Eigenraum zu $-1$
- Man muss die Lösungsmenge von
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \\-8 & 0 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}}{,} sodass der Eigenraum zu $-1$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}$ ist.
Eigenraum zu $-3$
- Man muss die Lösungsmenge von
\mathdisp {\begin{pmatrix} -5 & 0 & -5 \\ 0 & -2 & 0 \\-8 & 0 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}}{,} sodass der Eigenraum zu $-3$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}$ ist.
Eigenraum zu $10$
- Man muss die Lösungsmenge von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 8 & 0 & -5 \\ 0 & 11 & 0 \\-8 & 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\0\\ 8 \end{pmatrix}}{,} sodass der Eigenraum zu $10$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 8 \end{pmatrix}$ ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{11 (3+3+2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathdisp {c_1 , \ldots , c_n \in K} { }
Elemente, die nicht alle gleich $0$ seien. Wir betrachten die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} {c_i c_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
a) Bestimme den \definitionsverweis {Rang}{}{} der Matrix $M$.
b) Zeige, dass der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $M$ ist und bestimme den zugehörigen
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{.}
c) Zeige, dass $M$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
d) Zeige, dass $M$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht diagonalisierbar sein muss.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_1 \\\vdots\\ c_n \end{pmatrix} \left( c_1 , \, \ldots , \, c_n \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher besitzt die durch $M$ gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form
\mathdisp {K^n \longrightarrow K \longrightarrow K^n} { . }
Daher ist das Bild von $M$ maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens $1$. Da nicht alle $c_j$ gleich $0$ sind, ist $M$ nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau $1$.
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n c_1c_j c_j \\ \vdots\\ \sum_{j = 1}^n c_n c_j c_j \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n c_j^2 c_1 \\ \vdots\\ \sum_{j = 1}^n c_j^2 c_n \end{pmatrix}
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n c_j^2 \right) } \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Da nicht alle $c_j$ gleich $0$ sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert
\mathl{\sum_{j = 1}^n c_j^2}{.}
c) Die Matrix $M$ besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen $(n-1)$-dimensionalen \definitionsverweis {Kern}{}{.} Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von $0$ verschiedenen Eigenwert \zusatzklammer {da wir in $\R$ sind und eine Summe von Quadraten betrachten} {} {.} Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich $n$ und somit liegt nach Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine diagonalisierbare Abbildung vor.
d) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_2
}
{ = }{ { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die in Frage stehende Matrix ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das charakteristische Polynom davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { (X-1)(X+1)+1
}
{ =} { X^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist $0$ der einzige Eigenwert. Der Kern ist aber eindimensional, daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man gebe eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$4$ an.
}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^4
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist die Ordnung gleich $4$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Kerne}{}{}
\mathl{\operatorname{kern} M^{i}}{} eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in $K^n$ bilden.
}
{
Die nilpotente $n \times n$-Jordanmatrix hat die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & 1\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}} { . }
Die zugehörige lineare Abbildung $\varphi$ ist also durch
\mathdisp {e_1 \mapsto 0,\, e_2 \mapsto e_1,\, e_3 \mapsto e_2 , \ldots , e_{n-1} \mapsto e_{n-2} \, , e_n \mapsto e_{n-1}} { }
gegeben. Die $i$-te Iteration $\varphi^{i}$ davon bildet somit
\mathl{e_k}{} auf
\mathdisp {e_{k-i}, \text{ falls } k > i \text{ und } 0, \text{ falls } k \leq i} { }
ab. Daher gehören die
\mathl{e_1 , \ldots , e_i}{} zum Kern von
\mathl{\varphi^{i}}{.} Die Basisvektoren
\mathl{e_{i+1} , \ldots , e_n}{} werden hingegen unter $\varphi^{i}$ auf die linear unabhängigen Vektoren
\mathl{e_1 , \ldots , e_{n -i}}{} abgebildet. Daher ist der Rang gleich
\mathl{n-i}{} und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi^{i}
}
{ =} { \langle e_1 , \ldots , e_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Dimension $i$. Die Kerne
\mathl{\operatorname{kern} \varphi^{i}}{} bilden also eine aufsteigende Kette von Untervektorräumen, wobei die Dimensionen um $1$ wachsen. Es liegt also eine Fahne vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über $K$ mit Punkten
\mathl{P_1,P_2 \in E}{} und
\mathl{Q_1,Q_2 \in F}{.} Zeige, dass im
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
die
\definitionsverweis {baryzentrische}{}{}
Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(P_2,Q_2)
}
{ =} { (P_1,Q_2) + (P_2,Q_1)- (P_1,Q_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Zur Auswertung des baryzentrischen Ausdruckes wählen wir
\mathl{(P_1,Q_1)}{} als Aufpunkt und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P_1,Q_2) + (P_2,Q_1)- (P_1,Q_1)
}
{ =} { (P_1,Q_1) + \overrightarrow{ (P_1,Q_1) (P_1,Q_2) } + \overrightarrow{ (P_1,Q_1) (P_2,Q_1) }
}
{ =} {(P_1,Q_1) + ( \overrightarrow{ P_1 P_1 } , \overrightarrow{ Q_1 Q_2 } ) + ( \overrightarrow{ P_1 P_2 } , \overrightarrow{ Q_1 Q_1 } )
}
{ =} {(P_1,Q_1) + ( 0 , \overrightarrow{ Q_1 Q_2 } ) + ( \overrightarrow{ P_1 P_2 } , 0 )
}
{ =} {(P_1 + \overrightarrow{ P_1 P_2 } , Q_1 + \overrightarrow{ Q_1 Q_2 } )
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(P_2,Q_2)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}