Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 5 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 1 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 6 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 11 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}

}{Eine
\mathl{m \times n}{-}\stichwort {Matrix} {} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}

}{Eine \stichwort {Projektion} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Eine \stichwort {affine Basis} {} in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$ über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die Abbildung \maabbdisp {G} {M} {L} {,} die jedes Element
\mathl{y \in M}{} auf das eindeutig bestimmte Element
\mathl{x \in L}{} mit
\mathl{F(x)=y}{} abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu $F$. }{Eine
\mathl{m \times n}{-}Matrix über $K$ ist ein Schema der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { , }
wobei die
\mathl{a_{ij}}{} aus $K$ sind. }{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ \defeq} {{ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den Kern von $\varphi$. }{Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} heißt Projektion, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^2 }
{ =} { \varphi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_n - M \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt charakteristisches Polynom von $M$. }{Eine Familie von Punkten
\mathbed {P_i \in E} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} in einem \definitionsverweis {affine Raum}{}{} $E$ über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ heißt eine affine Basis von $E$, wenn zu einem
\mathl{i_0 \in I}{} die Vektorfamilie
\mathbeddisp {\overrightarrow{ P_{i_0} P_i }} {}
{i \in I \setminus \{ i_0\}} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ ist. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.}{Die \stichwort {Cramersche Regel} {} zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} Vektorräume über $K$. Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Basis von $V$ und es seien
\mathbed {w_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} Elemente in $W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung \maabbdisp {f} {V} {W } {} mit
\mathdisp {f(v_i)= w_i \text { für alle } i \in I} { . }
}{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ n 1 } x _1 + a _{ n 2 } x _2 + \cdots + a _{ n n } x _{ n } & = & c_n \end{matrix}} { }
ein \definitionsverweis {inhomogenes lineares Gleichungssystem}{}{} Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix
\mathl{M=(a_{ij})_{ij}}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} sei. Dann erhält man die eindeutige Lösung für $x_j$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_j }
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1, j -1 } & c _1 & a_{1 , j +1} & \cdots & a_{1 n } \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1} & \cdots & a_{ n , j -1 } & c_{ n } & a_{ n , j +1} & \cdots & a_{ n n }



\end{pmatrix} }{ \det M } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf dem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u } }
{ = }{ u_1 , \ldots , u_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ u } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{} zu $\varphi$ bezüglich dieser Basis. Dann ist
\mathl{v \in V}{} genau dann ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zu $\varphi$ zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $a$, wenn das \definitionsverweis {Koordinatentupel}{}{} zu $v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert $a$ ist.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es soll Holz unterschiedlicher Länge \zusatzklammer {ohne Abfall} {} {} in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und
\mathl{40}{} cm lang sein sollen \zusatzklammer {jeweils einschließlich} {} {.} Für welche Holzlängen ist dies möglich?

}
{

Es sei $\ell$ die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für
\mathl{\ell < 30}{} ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{30 }
{ \leq }{ \ell }
{ \leq }{40 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{40 }
{ < }{ \ell }
{ < }{60 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{60 }
{ \leq }{ \ell }
{ \leq }{80 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man das Stück in zwei \zusatzklammer {beispielsweise gleichgroße} {} {} Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{80 }
{ < }{ \ell }
{ < }{90 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\ell }
{ \geq} {90 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 s }
{ \leq} { \ell }
{ <} { 30 (s+1) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn man $\ell$ durch $s$ dividiert, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 }
{ \leq} { { \frac{ \ell }{ s } } }
{ <} { { \frac{ 30 (s+1) }{ s } } }
{ =} { 30 { \frac{ (s+1) }{ s } } }
{ \leq} { 30 { \frac{ 4 }{ 3 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} {40 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,} was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel
\mathdisp {( a + b )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k}} { }
für
\mathl{n \in \N}{} und beliebige Elemente
\mathl{a,b \in K}{} in einem Körper $K$.

}
{

Wir führen Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} steht einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b)^0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und andererseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^0b^0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (a+b)^{n+1} }
{ =} { (a+b) (a+b)^n }
{ =} { (a+b) { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } }
{ =} { a { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } + b { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } }
{ =} { \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k+1} b^{n - k} + \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } a^{k} b^{n - k+1} + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1} }
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } { \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1} }
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1} }
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k} }
} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Betrachte die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} läuft, \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.

}
{

Wir nehmen an, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n q_i \ln p_i }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, wobei
\mathl{p_1 , \ldots , p_n}{} verschiedene Primzahlen und
\mathl{q_1 , \ldots , q_n}{} rationale Zahlen sind. Diese müssen wir als $0$ nachweisen. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass die $q_i$ ganze Zahlen sind. Wir wenden die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} auf die obige Gleichung an und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^{\sum_{i = 1}^n q_i \ln p_i } }
{ =} { e^{q_1 \ln p_1 } \cdots e^{q_n \ln p_n } }
{ =} { \prod_{ i = 1}^n p_i^{q_i} }
{ =} { e^0 }
{ =} { 1 }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Teilmenge aller $i$, für die der Exponent $q_i$ nichtnegativ ist. Durch Sortieren erhalten wir eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i \in I} p_i^{q_i} }
{ =} { \prod_{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} } \setminus I} p_i^{- q_i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist eine positive natürliche Zahl und wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung müssen alle $q_i=0$ sein.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Im $\R^3$ seien die beiden Untervektorräume
\mathdisp {U= { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }} { }
und
\mathdisp {V = { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }} { }
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}

}
{

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} besitzt eine Darstellung
\mathdisp {s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix}} { . }
Die Koeffiziententupel
\mathl{(s,t,p,q)}{} bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 & -5 \\ 1 & -2 & -1 & -2 \\ 7 & 9 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\t\\ p\\q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { , }
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die erste Gleichung durch
\mathdisp {I'=I-3II: \, \, -s+10t + q = 0} { }
und die dritte Gleichung durch
\mathdisp {III'= III-4I':\, \, 11 s -31 t = 0} { . }
Wir wählen
\mathl{s=31}{,} so dass
\mathl{t=11}{} sein muss. Dies legt eindeutig $q$ und dann auch $p$ fest. Daher ist der Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} eindimensional und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 31 \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} +11 \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 62+44 \\31-22\\ 217+99 \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 106 \\9\\ 316 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist ein Basisvektor von
\mathl{U \cap V}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume
\mathl{U_1,U_2,U_3}{} in einem Vektorraum $V$ derart, dass
\mathl{V=U_1+U_2+U_3}{} ist, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_j }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \neq }{j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.

}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {K^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1 }
{ = }{ Ke_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2 }
{ = }{ Ke_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_3 }
{ = }{ K \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Summe der drei Unterräume ist $K^2$, da dies schon für die ersten beiden Unterräume gilt. Da die drei Vektoren paarweise linear unabhängig sind, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_i \cap U_j }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{i \neq j}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 +U_2 }
{ =} {K^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(U_1+U_2) \cap U_3 }
{ =} {U_3 }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist die Summe nicht direkt.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} zwischen den $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{

Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ =} { \varphi(0+0) }
{ =} {\varphi(0) + \varphi(0) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Addition mit dem negativen Element zu
\mathl{\varphi(0)}{,} also mit $- \varphi(0)$, ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {\varphi(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} z & 2 & 2z+1 \\ 3 & 1 & 4 \\z & 5 & z \end{pmatrix}} { }
nicht invertierbar ist.

}
{

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\neq 0$ ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist \zusatzklammer {nach der Regel von Sarrus} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z^2 +8z +30z +15 -2z^2-z -20 z -6z }
{ =} { -z^2 +11 z +15 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist gleich $0$ genau dann, wenn
\mathdisp {z^2-11z-15 =0} { }
ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( z- { \frac{ 11 }{ 2 } } \right) }^2 }
{ =} {15 + { \frac{ 121 }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 181 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher sind
\mathdisp {z_1= { \frac{ \sqrt{181} }{ 2 } } + { \frac{ 11 }{ 2 } } = { \frac{ 11 + \sqrt{181} }{ 2 } } \text{ und } z_2 = - { \frac{ \sqrt{181} }{ 2 } } + { \frac{ 11 }{ 2 } } = { \frac{ 11 - \sqrt{181} }{ 2 } }} { }
die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese zwei reellen Zahlen sind also die einzigen \zusatzklammer {reellen oder komplexen} {} {} Zahlen, für die die Matrix nicht invertierbar ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{

Beweise den Satz, dass das \definitionsverweis {Signum}{}{} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{

Es seien zwei Permutationen \mathkor {} {\pi} {und} {\rho} {} gegeben. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{sgn}( \verknuepfung {\rho} {\pi }) }
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ (\verknuepfung {\rho} {\pi}) ( j ) - (\verknuepfung {\rho} {\pi}) ( i )}{ j - i } }
{ =} { { \left( \prod_{ i<j } \frac{ (\pi \circ \rho ) ( j) - (\pi \circ \rho) ( i) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } \prod_{ i < j } \frac{ \rho( j ) - \rho( i )}{ j - i } }
{ =} { { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) < \rho(j) } \frac{ \pi ( \rho ( j))- \pi ( \rho ( i)) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) > \rho(j) } \frac{ \pi ( \rho ( j)) -\pi ( \rho ( i)) }{ \rho(j)- \rho (i) } \right) } \, \operatorname{sgn}(\rho ) }
{ =} { { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) < \rho(j)} \frac{ \pi ( \rho ( j)) - \pi ( \rho ( i)) }{ \rho (j)- \rho (i) } \right) } { \left( \prod_{ i<j, \, \rho(i) > \rho(j) } \frac{ \pi ( \rho ( i)) - \pi ( \rho ( j)) }{ \rho (i)- \rho (j) } \right) } \, \operatorname{sgn}(\rho) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \prod_{ k < \ell } \frac{ \pi( \ell ) - \pi( k )}{ \ell - k } \operatorname{sgn}(\rho ) }
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi) \operatorname{sgn}(\rho) }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen linearen Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {v} {Mv } {.}

}
{

Das charakteristische Polynom ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M } }
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-2 & 0 & -5 \\ 0 & x+1 & 0 \\-8 & 0 & x-5 \end{pmatrix} }
{ =} { (x-2)(x+1)(x-5) -40 (x+1) }
{ =} { (x+1)( (x-2)(x-5) -40) }
{ =} { (x+1) (x^2 -7x-30) }
} {} {}{.} Dies ergibt zunächst den Eigenwert $-1$. Durch quadratisches Ergänzen \zusatzklammer {oder direkt} {} {} sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen \mathkor {} {-3} {und} {10} {,} die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.

Eigenraum zu $-1$

Man muss die Lösungsmenge von


\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \\-8 & 0 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}}{,} so dass der Eigenraum zu $-1$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}$ ist.

Eigenraum zu $-3$

Man muss die Lösungsmenge von


\mathdisp {\begin{pmatrix} -5 & 0 & -5 \\ 0 & -2 & 0 \\-8 & 0 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}}{,} so dass der Eigenraum zu $-3$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix}$ ist.

Eigenraum zu $10$

Man muss die Lösungsmenge von


\mathdisp {\begin{pmatrix} 8 & 0 & -5 \\ 0 & 11 & 0 \\-8 & 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\0\\ 8 \end{pmatrix}}{,} so dass der Eigenraum zu $10$ gleich $\lambda \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 8 \end{pmatrix}$ ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{11 (3+3+2+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathdisp {c_1 , \ldots , c_n \in K} { }
Elemente, die nicht alle gleich $0$ seien. Wir betrachten die $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{1 \leq i,j \leq n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij} }
{ =} {c_i c_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben sind.

a) Bestimme den \definitionsverweis {Rang}{}{} der Matrix $M$.

b) Zeige, dass der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}}{} ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zu $M$ ist und bestimme den zugehörigen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{.}

c) Zeige, dass $M$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.


d) Zeige, dass $M$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht diagonalisierbar sein muss.

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} c_1 \\\vdots\\ c_n \end{pmatrix} \left( c_1 , \, \ldots , \, c_n \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher besitzt die durch $M$ gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form
\mathdisp {K^n \longrightarrow K \longrightarrow K^n} { . }
Daher ist das Bild von $M$ maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens $1$. Da nicht alle $c_j$ gleich $0$ sind, ist $M$ nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau $1$.

b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n c_1c_j c_j \\ \vdots\\ \sum_{j = 1}^n c_n c_j c_j \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n c_j^2 c_1 \\ \vdots\\ \sum_{j = 1}^n c_j^2 c_n \end{pmatrix} }
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n c_j^2 \right) } \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix} }
{ } { }
} {} {}{.} Da nicht alle $c_j$ gleich $0$ sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert
\mathl{\sum_{j = 1}^n c_j^2}{.}

c) Die Matrix $M$ besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen $(n-1)$-dimensionalen \definitionsverweis {Kern}{}{.} Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von $0$ verschiedenen Eigenwert \zusatzklammer {da wir in $\R$ sind und eine Summe von Quadraten betrachten} {} {.} Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich $n$ und somit liegt nach Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine diagonalisierbare Abbildung vor.

d) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_1 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_2 }
{ = }{ { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die in Frage stehende Matrix ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das charakteristische Polynom davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { (X-1)(X+1)+1 }
{ =} { X^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist $0$ der einzige Eigenwert. Der Kern ist aber eindimensional, daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Man gebe eine Matrix
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) }}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $4$ an.

}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^3 }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^4 }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist die Ordnung gleich $4$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Kerne}{}{}
\mathl{\operatorname{kern} M^{i}}{} eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} in $K^n$ bilden.

}
{

Die nilpotente $n \times n$-Jordanmatrix hat die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Die zugehörige lineare Abbildung $\varphi$ ist also durch
\mathdisp {e_1 \mapsto 0,\, e_2 \mapsto e_1,\, e_3 \mapsto e_2 , \ldots , e_{n-1} \mapsto e_{n-2} \, , e_n \mapsto e_{n-1}} { }
gegeben. Die $i$-te Iteration $\varphi^{i}$ davon bildet somit
\mathl{e_k}{} auf
\mathdisp {e_{k-i}, \text{ falls } k > i \text{ und } 0, \text{ falls } k \leq i} { }
ab. Daher gehören die
\mathl{e_1 , \ldots , e_i}{} zum Kern von
\mathl{\varphi^{i}}{.} Die Basisvektoren
\mathl{e_{i+1} , \ldots , e_n}{} werden hingegen unter $\varphi^{i}$ auf die linear unabhängigen Vektoren
\mathl{e_1 , \ldots , e_{n -i}}{} abgebildet. Daher ist der Rang gleich
\mathl{n-i}{} und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi^{i} }
{ =} { \langle e_1 , \ldots , e_i \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Dimension $i$. Die Kerne
\mathl{\operatorname{kern} \varphi^{i}}{} bilden also eine aufsteigende Kette von Untervektorräumen, wobei die Dimensionen um $1$ wachsen. Es liegt also eine Fahne vor.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über $K$ mit Punkten
\mathl{P_1,P_2 \in E}{} und
\mathl{Q_1,Q_2 \in F}{.} Zeige, dass im \definitionsverweis {Produktraum}{}{} die \definitionsverweis {baryzentrische}{}{} Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(P_2,Q_2) }
{ =} { (P_1,Q_2) + (P_2,Q_1)- (P_1,Q_1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{

Zur Auswertung des baryzentrischen Ausdruckes wählen wir
\mathl{(P_1,Q_1)}{} als Aufpunkt und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P_1,Q_2) + (P_2,Q_1)- (P_1,Q_1) }
{ =} { (P_1,Q_1) + \overrightarrow{ (P_1,Q_1) (P_1,Q_2) } + \overrightarrow{ (P_1,Q_1) (P_2,Q_1) } }
{ =} {(P_1,Q_1) + ( \overrightarrow{ P_1 P_1 } , \overrightarrow{ Q_1 Q_2 } ) + ( \overrightarrow{ P_1 P_2 } , \overrightarrow{ Q_1 Q_1 } ) }
{ =} {(P_1,Q_1) + ( 0 , \overrightarrow{ Q_1 Q_2 } ) + ( \overrightarrow{ P_1 P_2 } , 0 ) }
{ =} {(P_1 + \overrightarrow{ P_1 P_2 } , Q_1 + \overrightarrow{ Q_1 Q_2 } ) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {(P_2,Q_2) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}


}