Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 8 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 9 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Urbild} {} zu einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq M}{} unter einer Abbildung
\maabb {F} {L} {M} {.}
}{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
mit einem
\definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}
}{Die
\stichwort {Übergangsmatrix} {}
zum Basiswechsel von einer Basis
\mathl{\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n}{} zu einer anderen Basis
\mathl{\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n}{.}
}{Ein
\stichwort {Zykel der Ordnung} {}
$r$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}
}{Der \stichwort {Eigenraum} {} zu $\lambda \in K$ und einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Die
\stichwort {baryzentrischen Koordinaten} {}
zu einem Punkt
\mathl{P \in E}{} in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$ über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ bezüglich einer
\definitionsverweis {affinen Basis}{}{}
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$.}{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}{Der Satz über die jordansche Normalform.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+ \times \N_+} { \N_+ \times \N_+\times \N_+ } {(a,b)} {(a+b,ab,a^b) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} oder nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es seien \maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R } {} Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper
\mathl{K=\Q[\sqrt{3}]}{:}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & - 2 -3 \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1- \sqrt{3} \\ 4 -2 \sqrt{3} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraumes}{}{}
des $\Q^4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise die Dimensionsformel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{P \in {\mathbb C}[X]}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zu einer
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_M
}
{ \defeq} { X^2 - \operatorname{Spur} { \left( M \right) } X + \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_M(M)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{\lambda \in K}{.} Zeige durch Induktion, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^n
}
{ =} {\begin{pmatrix} \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (1+4+4)}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei $v \in V$ ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $\varphi$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mathl{\lambda \in K}{.} Es sei
\maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
die
\definitionsverweis {duale Abbildung}{}{}
zu $\varphi$. Wir betrachten Basen von $V$ der Form
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{} mit der Dualbasis
\mathl{v^*, u_1^* , \ldots , u_r^*}{.} Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.
a) $v^*$ ist Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$ zum Eigenwert $\lambda$ unabhängig von
\mathl{u_1 , \ldots , u_r}{.}
b) $v^*$ ist Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$ zum Eigenwert $\lambda$ bezüglich einer Basis
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{,} aber nicht bezüglich einer Basis
\mathl{v, w_1 , \ldots , w_r}{.}
c) $v^*$ ist bezüglich keiner Basis
\mathl{v, u_1 , \ldots , u_r}{} ein Eigenvektor von ${ \varphi }^{ * }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine Matrix in \definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{,} wobei nur ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in $M$ gleich der Dimension des \definitionsverweis {Eigenraumes}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ der
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit zwei Elementen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zweidimensionale Standardraum über $K$. Zeige, dass jede zweielementige Teilmenge
\mathl{G \subset K^2}{} eine affine Gerade ist.
}
{} {}