Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	$\sum$
Punkte	3	3	1	5	4	3	4	4	8	8	2	2	2	9	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Urbild zu einer Teilmenge  $T\subseteq M$  unter einer Abbildung $F:L\to M$.
2. Ein inverses Element zu einem Element $x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung

   $\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y,$

   mit einem neutralen Element $e\in M$.

3. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis  $𝔳=v_1,\dots ,v_n$  zu einer weiteren Basis  $𝔲=u_1,\dots ,u_n$  in einem $K$-Vektorraum $V$.
4. Ein Zyklus der Ordnung $r$ auf $\{1,\dots ,n\}$.
5. Der Eigenraum zu $\lambda \in K$ und einem Endomorphismus

   $\phi :V⟶V$

   auf einem $K$-Vektorraum $V$.

6. Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt  $P\in E$  in einem affinen Raum $E$ über dem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer affinen Basis $P_i$, $i\in I$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper $K$.
2. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

   $\phi :V⟶W.$

3. Der Satz über die jordansche Normalform.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\phi :{\mathbb{N}}_{+}\times {\mathbb{N}}_{+}⟶{\mathbb{N}}_{+}\times {\mathbb{N}}_{+}\times {\mathbb{N}}_{+},(a,b)⟼(a+b,ab,a^b),$

injektiv oder nicht?

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

$f,g,h:ℝ⟶ℝ$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

$(h\cdot g)\circ f=(h\circ f)\cdot (g\circ f).$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

$(h\circ g)\cdot f=(h\cdot f)\circ (g\cdot f)$

nicht gelten muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper  $K=\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$: 

$\left(\begin{array}{cc}2+\sqrt{3}& -\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}& -2-3\sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-\sqrt{3}\\ 4-2\sqrt{3}\end{array}\right).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

erzeugten Untervektorraumes des ${\mathbb{Q}}^4$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ -1& 0& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

${ℝ}^4⟶{ℝ}^3,\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 5& 2\\ 3& -2& 7& -1\\ 2& -1& -4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right).$

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

$\phi :V⟶W.$

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei  $P\in ℂ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

$ℂ⟶ℂ,z⟼P(z),$

surjektiv ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zu einer $2\times 2$-Matrix  $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$  sei

$P_M:=X^2-\mathrm{Spur}\left(M\right)X+detM.$

Zeige, dass  $P_M(M)=0$  ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$

mit  $\lambda \in K$.  Zeige durch Induktion, dass

$M^n=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^n& n{\lambda }^{n-1}\\ 0& {\lambda }^n\end{array}\right)$

ist.

Aufgabe * (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei  $v\in V$  ein Eigenvektor zu $\phi$ zum Eigenwert  $\lambda \in K$.  Es sei

${\phi }^{\ast }:V^{\ast }⟶V^{\ast }$

die duale Abbildung zu $\phi$. Wir betrachten Basen von $V$ der Form $v,u_1,\dots ,u_r$ mit der Dualbasis $v^{\ast },u_1^{\ast },\dots ,u_r^{\ast }$. Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) $v^{\ast }$ ist Eigenvektor von ${\phi }^{\ast }$ zum Eigenwert $\lambda$ unabhängig von $u_1,\dots ,u_r$.

b) $v^{\ast }$ ist Eigenvektor von ${\phi }^{\ast }$ zum Eigenwert $\lambda$ bezüglich einer Basis $v,u_1,\dots ,u_r$, aber nicht bezüglich einer Basis $v,w_1,\dots ,w_r$.

c) $v^{\ast }$ ist bezüglich keiner Basis $v,u_1,\dots ,u_r$ ein Eigenvektor von ${\phi }^{\ast }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $M$ eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in $M$ gleich der Dimension des Eigenraumes ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ der Körper mit zwei Elementen und sei

$V=K^2$

der zweidimensionale Standardraum über $K$. Zeige, dass jede zweielementige Teilmenge $G\subset K^2$ eine affine Gerade ist.