Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	5	4	3	4	4	8	8	2	2	2	9	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Urbild zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ unter einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Ein inverses Element zu einem Element ${}x\in M$ bezüglich einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   mit einem neutralen Element ${}e\in M$.

3. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer weiteren Basis ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Ein Zykel der Ordnung ${}r$ auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$.
5. Der Eigenraum zu ${}\lambda \in K$ und einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt ${}P\in E$ in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer affinen Basis ${}P_{i}$, ${}i\in I$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$.
2. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

3. Der Satz über die jordansche Normalform.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

${}{\left(h\cdot g\right)}\circ f={\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\,.$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

${}{\left(h\circ g\right)}\cdot f={\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}\,$

nicht gelten muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$:

${}{\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}$

erzeugten Untervektorraumes des ${}\mathbb {Q} ^{4}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&1&5&2\\3&-2&7&-1\\2&-1&-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W.$

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

surjektiv ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zu einer ${}2\times 2$- Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ sei

${}P_{M}:=X^{2}-\operatorname {Spur} {\left(M\right)}X+\det M\,.$

Zeige, dass ${}P_{M}(M)=0$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}\,$

mit ${}\lambda \in K$. Zeige durch Induktion, dass

${}M^{n}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}&n\lambda ^{n-1}\\0&\lambda ^{n}\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe * (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}\lambda \in K$. Es sei

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

die duale Abbildung zu ${}\varphi$. Wir betrachten Basen von ${}V$ der Form ${}v,u_{1},\ldots ,u_{r}$ mit der Dualbasis ${}v^{*},u_{1}^{*},\ldots ,u_{r}^{*}$. Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) ${}v^{*}$ ist Eigenvektor von ${}{\varphi }^{*}$ zum Eigenwert ${}\lambda$ unabhängig von ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$.

b) ${}v^{*}$ ist Eigenvektor von ${}{\varphi }^{*}$ zum Eigenwert ${}\lambda$ bezüglich einer Basis ${}v,u_{1},\ldots ,u_{r}$, aber nicht bezüglich einer Basis ${}v,w_{1},\ldots ,w_{r}$.

c) ${}v^{*}$ ist bezüglich keiner Basis ${}v,u_{1},\ldots ,u_{r}$ ein Eigenvektor von ${}{\varphi }^{*}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in ${}M$ gleich der Dimension des Eigenraumes ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ der Körper mit zwei Elementen und sei

${}V=K^{2}\,$

der zweidimensionale Standardraum über ${}K$. Zeige, dass jede zweielementige Teilmenge ${}G\subset K^{2}$ eine affine Gerade ist.