Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 5 4 3 4 4 8 8 2 2 2 9 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Urbild zu einer Teilmenge unter einer Abbildung .
  2. Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

    mit einem neutralen Element .

  3. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis zu einer anderen Basis .
  4. Ein Zykel der Ordnung auf .
  5. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  6. Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt in einem affinen Raum über dem -Vektorraum bezüglich einer affinen Basis , .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper .
  2. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
  3. Der Satz über die jordansche Normalform.


Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zu einer -Matrix sei

Zeige, dass ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

mit . Zeige durch Induktion, dass

ist.


Aufgabe * (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Es sei

die duale Abbildung zu . Wir betrachten Basen von der Form mit der Dualbasis . Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) ist Eigenvektor von zum Eigenwert unabhängig von .

b) ist Eigenvektor von zum Eigenwert bezüglich einer Basis , aber nicht bezüglich einer Basis .

c) ist bezüglich keiner Basis ein Eigenvektor von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in gleich der Dimension des Eigenraumes ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei der Körper mit zwei Elementen und sei

der zweidimensionale Standardraum über . Zeige, dass jede zweielementige Teilmenge eine affine Gerade ist.