Kurs:Lineare Algebra/Teil II/1/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 1 }

\renewcommand{\avier}{ 7 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 8 }

\renewcommand{\aneun}{ 1 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 10 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 63 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Isometrie} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen euklidischen Vektorräumen.

}{Eine \stichwort {nicht-ausgeartete} {} Bilinearform.

}{Ein \stichwort {normaler} {} Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}

}{Die \stichwort {Restklassengruppe} {} zu einem Normalteiler
\mathl{H \subseteq G}{} in einer Gruppe $G$.

}{Die \stichwort {Stetigkeit} {} einer Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {} zwischen \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {} in einem Punkt
\mathl{x \in L}{.}

}{Die $n$-te \stichwort {äußere Potenz} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \zusatzklammer {es genügt, das Symbol dafür anzugeben} {} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.}{Das \stichwort {Minorenkriterium} {} für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.}{Der \stichwort {Charakterisierungssatz} {} für asymptotisch stabile Endomorphismen.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\8\\ 9 \end{pmatrix}}{} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^3$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $\varphi$ gleich \mathkor {} {1} {oder} {-1} {} ist. Ferner besitze $\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander \definitionsverweis {orthogonale}{}{} Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\-6 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-7y }
{ =} {8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise den Kathetensatz vektoriell.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $d$-dimensionaler \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ
\mathl{(p',q')}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p' }
{ \geq} {d+p-n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+4)}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {V_1 \oplus V_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} der Untervektorräume \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.} Es seien \maabbdisp {\varphi_1} {V_1} {V_1 } {} und \maabbdisp {\varphi_2} {V_2} {V_2 } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \varphi_1 \oplus \varphi_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Summe davon. \aufzaehlungzwei {Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {} stehen senkrecht aufeinander. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \varphi } }
{ =} { \hat{ \varphi_1 } \oplus \hat{ \varphi_2 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die \aufzaehlungdrei{reflexiv }{symmetrisch }{reflexiv und symmetrisch } sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb F}_q}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \zusatzklammer {mit $q$ Elementen} {} {.} Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_q \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ -3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\7\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\5\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -6 \\0\\ 11 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} repräsentieren oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} mit \definitionsverweis {endlicher Ordnung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \definitionsverweis {stabil}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {spaltenstochastische Matrix}{}{.} Zeige, dass das Bild eines jeden \definitionsverweis {Verteilungsvektors}{}{} wieder ein Verteilungsvektor ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 5 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10}
{

Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}
{} {}