Kurs:Lineare Algebra/Teil II/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 7 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 10 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 63 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Isometrie} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen euklidischen Vektorräumen.
}{Eine \stichwort {nicht-ausgeartete} {} Bilinearform.
}{Ein
\stichwort {normaler} {}
Endomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}
}{Die
\stichwort {Restklassengruppe} {}
zu einem Normalteiler
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer Gruppe $G$.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
zwischen
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in L}{.}
}{Die $n$-te \stichwort {äußere Potenz} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \zusatzklammer {es genügt, das Symbol dafür anzugeben} {} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.}{Das \stichwort {Minorenkriterium} {} für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.}{Der \stichwort {Charakterisierungssatz} {} für asymptotisch stabile Endomorphismen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
zu dem von
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\8\\ 9 \end{pmatrix}}{}
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{}
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} mit der Eigenschaft, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $\varphi$ gleich \mathkor {} {1} {oder} {-1} {} ist. Ferner besitze $\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander \definitionsverweis {orthogonale}{}{} Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass $\varphi$ eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\-6 \end{pmatrix}}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-7y
}
{ =} {8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Kathetensatz vektoriell.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $d$-dimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ
\mathl{(p',q')}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p'
}
{ \geq} {d+p-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+4)}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V_1 \oplus V_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der Untervektorräume
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.}
Es seien
\maabbdisp {\varphi_1} {V_1} {V_1
} {}
und
\maabbdisp {\varphi_2} {V_2} {V_2
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \varphi_1 \oplus \varphi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Summe davon.
\aufzaehlungzwei {Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h.
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
stehen senkrecht aufeinander. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \varphi }
}
{ =} { \hat{ \varphi_1 } \oplus \hat{ \varphi_2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die \aufzaehlungdrei{reflexiv }{symmetrisch }{reflexiv und symmetrisch } sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb F}_q}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
\zusatzklammer {mit $q$ Elementen} {} {.}
Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_q \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ -3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\7\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\5\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -6 \\0\\ 11 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} mit \definitionsverweis {endlicher Ordnung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \definitionsverweis {stabil}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {spaltenstochastische Matrix}{}{.} Zeige, dass das Bild eines jeden \definitionsverweis {Verteilungsvektors}{}{} wieder ein Verteilungsvektor ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 5 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}
{} {}