Kurs:Lineare Algebra/Teil II/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 7 4 5 2 8 1 3 4 4 3 3 2 10 63



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Isometrie

    zwischen euklidischen Vektorräumen.

  2. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
  3. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  4. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  6. Die -te äußere Potenz zu einem -Vektorraum (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
  2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
  3. Der Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von gleich oder ist. Ferner besitze die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass eine Isometrie ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Kathetensatz vektoriell.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

die direkte Summe der Untervektorräume und . Es seien

und

lineare Abbildungen und

die Summe davon.

  1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. und stehen senkrecht aufeinander. Zeige
  2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die

  1. reflexiv
  2. symmetrisch
  3. reflexiv und symmetrisch

sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper (mit Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein Endomorphismus

mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum stabil ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine spaltenstochastische Matrix. Zeige, dass das Bild eines jeden Verteilungsvektors wieder ein Verteilungsvektor ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen -Vektorraum .