Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 1 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 59 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Orthonormalbasis} {} in einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
}{Die \stichwort {Höhe} {} in einem Dreieck.
}{Die
\stichwort {Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Gramsche Matrix} {}
zu einer
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
auf einem endlichdimensionalen
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.}
}{Eine
\stichwort {kompakte} {}
Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^n}{.}
}{Die \stichwort {Äquivalenz} {} von zwei Normen \mathkor {} {\Vert {-} \Vert_1} {und} {\Vert {-} \Vert_2} {} auf einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz des Pythagoras} {} in einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ mit Skalarprodukt.}{Das \stichwort {Eigenwertkriterium} {} für eine reell-symmetrische Bilinearform.}{Der \stichwort {Charakterisierungssatz} {} für stabile Endomorphismen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {normierter}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über $V$. Zeige, dass $E$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(P,Q)
}
{ \defeq} { \Vert { \overrightarrow{ P Q } } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+4)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } & -{ \frac{ 1 }{ 2 } } \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \\ { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 } }} & 0 & { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \end{pmatrix}} { . }
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass diese Matrix
\zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {}
eine
\definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{}
beschreibt.
}{Bestimme einen
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu dieser Matrix.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} an, deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $2$ ist und die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $\alpha_n$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor $e_1$ und dem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_n
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n e_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im $\R^n$. Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungpng {linie} {png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { linie.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit
\mathl{A,B,C}{} zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Kathetensatz vektoriell.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere ein Viereck und eine Gerade, die jede Vierecksseite schneidet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {nicht ausgeartete}{}{}
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ und einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \neq }{ U + U ^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem $4 \times 4$-Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} { G } { H } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element mit endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt, zu dem es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/( d ) } { G
} {}
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Zeige, dass die \definitionsverweis {Äquivalenz von Normen}{}{} auf $V$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. Auf welcher Menge \anfuehrung{lebt}{} diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn $V$ endlichdimensional ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige, dass $M$ genau dann
\definitionsverweis {spaltenstochastisch}{}{}
ist, wenn $M$ für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der
\definitionsverweis {Summennorm}{}{}
ist, wenn also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { M v } \Vert_{\rm sum}
}
{ =} { \Vert { v } \Vert_{\rm sum}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{v \in \R_{\geq 0}^n}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^3 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {5 e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 -4 e_2 \wedge e_3 \wedge e_1 + 2 e_3 \wedge e_2 \wedge e_1 +8 e_2 \wedge e_1 \wedge e_3} { . }
}
{} {}