Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 3 4 0 5 2 5 0 2 4 4 0 4 5 47



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Orthonormalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Die Höhe in einem Dreieck.
  3. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe .
  4. Die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum bezüglich einer Basis .
  5. Eine kompakte Teilmenge .
  6. Die Äquivalenz von zwei Normen und auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz des Pythagoras in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
  3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein normierter -Vektorraum und ein affiner Raum über . Zeige, dass durch

zu einem metrischen Raum wird.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

an, deren Ordnung ist und die keine Isometrie ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor und dem Vektor im . Bestimme den Grenzwert


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Linie.png

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Kathetensatz vektoriell.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem -Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen?


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein reeller Vektorraum. Zeige, dass die Äquivalenz von Normen auf eine Äquivalenzrelation ist. Auf welcher Menge „lebt“ diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn endlichdimensional ist?


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige, dass genau dann spaltenstochastisch ist, wenn für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also

für alle gilt.