Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	$\sum$
Punkte	3	3	3	6	3	4	5	2	5	1	3	2	4	4	0	4	5	2	59

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Orthonormalbasis in einem $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt.
Die Höhe in einem Dreieck.
Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe $H \subseteq G$ .
Die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen $ℂ$ -Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ .
Eine kompakte Teilmenge $T \subseteq ℝ^{n}$ .
Die Äquivalenz von zwei Normen $‖ - ‖_{1}$ und $‖ - ‖_{2}$ auf einem $𝕂$ -Vektorraum $V$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz des Pythagoras in einem $𝕂$ -Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $V$ ein normierter $𝕂$ -Vektorraum und $E$ ein affiner Raum über $V$ . Zeige, dass $E$ durch

d (P, Q) := ‖ \vec{P Q} ‖

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) .

a) Zeige, dass diese Matrix (bezüglich der Standardbasis) eine eigentliche Isometrie beschreibt.

b) Bestimme einen Eigenvektor zu dieser Matrix.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

φ : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}

an, deren Ordnung $2$ ist und die keine Isometrie ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $α_{n}$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor $e_{1}$ und dem Vektor $v_{n} = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}$ im $ℝ^{n}$ . Bestimme den Grenzwert

lim_{n \to \infty} α_{n} .

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise $K_{1}$ und $K_{2}$ , wobei $K_{1}$ den Mittelpunkt $(3, 4)$ und den Radius $6$ und $K_{2}$ den Mittelpunkt $(- 8, 1)$ und den Radius $7$ besitzen.

Aufgabe (2 Punkte)

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit $A, B, C$ zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Kathetensatz vektoriell.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Viereck und eine Gerade, die jede Vierecksseite schneidet.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform $⟨ -, - ⟩$ auf einem reellen Vektorraum $V$ und einem Untervektorraum $U \subseteq V$ derart an, dass $V \neq U + U^{⊥}$ gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem $4 \times 4$ -Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

φ : G ⟶ H .

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $G$ eine Gruppe und $g \in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen $d \in ℕ_{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

ℤ / (d) ⟶ G

gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Zeige, dass die Äquivalenz von Normen auf $V$ eine Äquivalenzrelation ist. Auf welcher Menge „lebt“ diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn $V$ endlichdimensional ist?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

M = (a_{i j})_{1 \leq i, j \leq n}

eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige, dass $M$ genau dann spaltenstochastisch ist, wenn $M$ für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also

‖ M v ‖_{s u m} = ‖ v ‖_{s u m}

für alle $v \in ℝ_{\geq 0}^{n}$ gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Vereinfache in $\overset{3}{⋀} ℝ^{3}$ den Ausdruck

5 e_{1} \land e_{2} \land e_{3} - 4 e_{2} \land e_{3} \land e_{1} + 2 e_{3} \land e_{2} \land e_{1} + 8 e_{2} \land e_{1} \land e_{3} .