Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	4	0	5	2	5	0	2	4	4	0	4	5	47

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Orthonormalbasis in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt.
2. Die Höhe in einem Dreieck.
3. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
4. Die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$.
5. Eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
6. Die Äquivalenz von zwei Normen ${}\Vert {-}\Vert _{1}$ und ${}\Vert {-}\Vert _{2}$ auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz des Pythagoras in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
2. Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}E$ ein affiner Raum über ${}V$. Zeige, dass ${}E$ durch

${}d(P,Q):=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Ordnung ${}2$ ist und die keine Isometrie ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\alpha _{n}$ der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor ${}e_{1}$ und dem Vektor ${}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}e_{i}$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Bestimme den Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit ${}A,B,C$ zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Kathetensatz vektoriell.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem ${}4\times 4$-Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Zeige, dass die Äquivalenz von Normen auf ${}V$ eine Äquivalenzrelation ist. Auf welcher Menge „lebt“ diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn ${}V$ endlichdimensional ist?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige, dass ${}M$ genau dann spaltenstochastisch ist, wenn ${}M$ für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also

${}\Vert {Mv}\Vert _{\rm {sum}}=\Vert {v}\Vert _{\rm {sum}}\,$

für alle ${}v\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}$ gilt.