Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 54 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Abstandsfunktion} {}
auf einem
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}
}{Eine \stichwort {Orthogonalbasis} {} in einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
}{Der \stichwort {adjungierte Endomorphismus} {} zu einem Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
}{Ein \stichwort {Normalteiler} {} $N$ in einer Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {offene Menge} {} in einem metrischen Raum $M$.
}{Das
\stichwort {Tensorprodukt} {}
von linearen Abbildungen
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {W_i
} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Satz des Thales} {.}}{Der \stichwort {Satz von Lagrange} {} über die Ordnung eines Gruppenelementes
\mathl{g \in G}{} in einer endlichen Gruppe $G$.}{Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wende das
\definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{}
auf die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 3 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Isometrie}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} gleich \mathkor {} {1} {oder gleich} {-1} {} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{,}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
$U^{ { \perp } }$ ebenfalls $\varphi$-invariant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei \definitionsverweis {Höhenfußpunkte}{}{} außerhalb der Dreiecksseiten liegen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit einer von $2$ verschiedenen
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
und sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \left\langle v+w , v+w \right\rangle - \left\langle v-w , v-w \right\rangle \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu
\mathbed {z \in \R} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,}
die Vektoren
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} z - { \frac{ 1 }{ z } } \\ z + { \frac{ 1 }{ z } } \end{pmatrix} \text{ und } { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} - z + { \frac{ 1 }{ z } } \\ z + { \frac{ 1 }{ z } } \end{pmatrix}} { }
Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in K , \, ad -bc \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge aller invertierbaren
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
a) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass $M$ mit der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.
b) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass die Abbildung \maabbeledisp {} {M} { K^{\times} } { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { ad-bc } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+2+1+2)}
{
Es sei $M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$. Definiere auf $M$ eine Relation durch
\mathdisp {f \sim g \text{ falls } f(0)=g(0),\, f'(0)=g'(0) \text{ und } f^{\prime \prime}(1) = g^{\prime \prime} (1)} { . }
a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.
c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.
d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{} die Standardbasis des $\R^n$
\zusatzklammer {
\mathl{n \geq 1}{}} {} {} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \{ \pm e_1 , \ldots , \pm e_n \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Gruppe der
\definitionsverweis {eigentlichen Symmetrien}{}{}
von $T$ gerade $2^{n-1} (n!)$ Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei ein Kreis mit sechs \zusatzklammer {äquidistanten} {} {} Knoten gegeben, die mit $1,2,3,4,5,6$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. Erstelle die zugehörige \definitionsverweis {stochastische Matrix}{}{} und berechne die Eigenverteilung\zusatzklammer {en} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
\aufzaehlungzwei {Es sei
\mathl{U \subseteq V}{} ein
$K$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$. Wie kann man die Dimension des
\definitionsverweis {Restklassenraumes}{}{}
\mathl{V/U}{} ausdrücken?
} {Kann man mit der Formel aus (1) die Dimension des Dachproduktes
\mathl{\bigwedge^n V =F/U}{} ausrechnen, wobei
\mathl{U \subseteq F}{} die in der Konstruktion des Dachproduktes verwendeten Vektorräume sind?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne in
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } \R^3}{} das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -7 \\3 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}