Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 4 3 1 2 5 2 6 6 3 4 4 2 2 54



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum über mit einem Skalarprodukt .
  2. Eine Orthogonalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt.

  4. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  6. Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen

    für .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz des Thales.
  2. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
  3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

gleich oder gleich ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

eine Isometrie und ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls -invariant ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei Höhenfußpunkte außerhalb der Dreiecksseiten liegen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper mit einer von verschiedenen Charakteristik und sei eine symmetrische Bilinearform auf einem -Vektorraum . Zeige


Aufgabe * (5 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu , , die Vektoren

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren -Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es sei die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Definiere auf eine Relation durch

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei die Standardbasis des () und sei

Zeige, dass die Gruppe der eigentlichen Symmetrien von gerade Elemente besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich . Erstelle die zugehörige stochastische Matrix und berechne die Eigenverteilung(en).


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

  1. Es sei ein -Untervektorraum eines endlichdimensionalen -Vektorraumes . Wie kann man die Dimension des Restklassenraumes ausdrücken?
  2. Kann man mit der Formel aus (1) die Dimension des Dachproduktes ausrechnen, wobei die in der Konstruktion des Dachproduktes verwendeten Vektorräume sind?


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne in das Tensorprodukt