Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	3	1	2	5	2	6	6	3	4	4	2	2	54

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum ${}V$ über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Eine Orthogonalbasis in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

4. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${}M$.
6. Das Tensorprodukt von linearen Abbildungen

   $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

   für ${}i=1,\ldots ,n$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz des Thales.
2. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes ${}g\in G$ in einer endlichen Gruppe ${}G$.
3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt,

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie und ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ebenfalls ${}\varphi$-invariant ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei Höhenfußpunkte außerhalb der Dreiecksseiten liegen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer von ${}2$ verschiedenen Charakteristik und sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v-w,v-w\right\rangle \right)}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${}z\in \mathbb {R}$, ${}z\neq 0$, die Vektoren

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}$

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine zyklische Gruppe kommutativ ist.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)

Es sei ${}M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Definiere auf ${}M$ eine Relation durch

$f\sim g{\text{ falls }}f(0)=g(0),\,f'(0)=g'(0){\text{ und }}f^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1).$

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}p$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ die Standardbasis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ (${}n\geq 1$) und sei

${}T=\{\pm e_{1},\ldots ,\pm e_{n}\}\,.$

Zeige, dass die Gruppe der eigentlichen Symmetrien von ${}T$ gerade ${}2^{n-1}(n!)$ Elemente besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit ${}1,2,3,4,5,6$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${}{\frac {1}{3}}$. Erstelle die zugehörige stochastische Matrix und berechne die Eigenverteilung(en).

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

1. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}K$- Untervektorraum eines endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraumes ${}V$. Wie kann man die Dimension des Restklassenraumes ${}V/U$ ausdrücken?
2. Kann man mit der Formel aus (1) die Dimension des Dachproduktes ${}\bigwedge ^{n}V=F/U$ ausrechnen, wobei ${}U\subseteq F$ die in der Konstruktion des Dachproduktes verwendeten Vektorräume sind?

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}-7\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}.$