Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 0 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 43 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Das \stichwort {orthogonale Komplement} {} zu einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit Skalarprodukt.
}{Eine \stichwort {winkeltreue Abbildung} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
}{Eine \stichwort {hermitesche} {} Matrix.
}{Die \stichwort {Quotientenmenge} {} zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
zwischen
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in L}{.}
}{Den
\stichwort {durch Körperwechsel} {}
\mathl{K \subseteq L}{} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {gewonnenen} {}
$L$-Vektorraum.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Kosinussatz} {.}}{Der Satz über den Abstand eines Vektors $v$ zu einem Untervektorraum $U$ in einem euklidischen Vektorraum $V$.}{Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\zusatzklammer {achsensymmetrische} {} {}
Ellipse $E$ im $\R^2$ und eine bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(E)
}
{ = }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Kosinussatz.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $V$ ein
$\Complex$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es seien
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung
\mathl{\varphi \circ \psi}{}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (4+2+2)}
{
Es seien
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
mit
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearformen}{}{}
\mathkor {} {\Psi_U} {und} {\Psi_V} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass auf
\mathl{U \oplus V}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Theta ( (u_1,v_1), (u_2,v_2))
}
{ =} { \Psi_U (u_1,u_2) + \Phi_V(v_1,v_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei $U$ und $V$
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
zueinander sind.
}{Es sei $G$ die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
von $\Psi_U$ bezüglich einer Basis von $U$ und $H$ die Gramsche Matrix von $\Psi_V$ bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Blockmatrix}{}{}
aus $G$ und $H$ die Gramsche Matrix von $\Theta$ bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
}{Der
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der Bilinearformen sei
\mathl{(p,q)}{} bzw.
\mathl{(p',q')}{.} Zeige, dass der Typ von $\Theta$ gleich
\mathl{(p+p',q+q')}{} ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-3{ \mathrm i} & 4+5{ \mathrm i} \\ 11-3{ \mathrm i} & 6+9{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2
} {}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des ${\mathbb C}^2$ aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element, und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^0
}
{ = }{ e_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^{m+n}
}
{ = }{ g^m g^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+1+1+2)}
{
Betrachte den Würfel
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Snijden_kruisen_evenwijdig.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Snijden kruisen evenwijdig.png } {} {MADe} {nl.wikipedia} {cc-by-sa 3.0} {}
Es sei $\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte
\mathkor {} {A} {und} {G} {,}
die den Eckpunkt $B$ auf $D$ schickt, und es sei $\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse
\zusatzklammer {also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche $A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche $E,F,G,H$ läuft} {} {.}
a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge $\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch $\alpha, \beta, \alpha \beta$ und $\beta \alpha$ bewirkt werden.
b) Bestimme die Drehachse von $\alpha \beta$ und von $\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.
c) Man gebe die Zykeldarstellung der von $\alpha^2$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist $\alpha^{1001}$?
d) Man betrachte die Permutation $\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {A} {B} {C} {D} {E} }
{\mazeileunddrei {F} {G} {H
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {B} {C} {D} {A} {G} }
{\mazeileunddrei {H} {E} {F} }
gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von $\sigma$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale normierte
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mathl{\operatorname{Hom}_{ } { \left( V , W \right) }}{} in der Tat eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten eine
\definitionsverweis {stochastische Matrix}{}{,}
bei der jede Spalte gleich
\mathl{\begin{pmatrix} p_1 \\p_2\\ \vdots\\p_n \end{pmatrix}}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenverteilung}{}{}
und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und es seien
\mathdisp {U_{1,1} \subset U_{1,2} \subset \ldots \subset U_{1, \operatorname{dim}_{ } { \left( V_1 \right) } } \subset V_1 , \ldots , U_{n,1} \subset U_{n,2} \subset \ldots \subset U_{n, \operatorname{dim}_{ } { \left( V_n \right) } } \subset V_n} { }
\definitionsverweis {Fahnen}{}{}
in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in
\mathl{V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n}{} geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt
\mathdisp {U_{1,j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } U_{n,j_n}} { }
haben.
}
{} {}