Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 4 3 0 2 8 2 0 3 6 3 0 3 3 43



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Eine winkeltreue Abbildung

    auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.

  3. Eine hermitesche Matrix.
  4. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  6. Den durch Körperwechsel aus einem -Vektorraum gewonnenen -Vektorraum.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Kosinussatz.
  2. Der Satz über den Abstand eines Vektors zu einem Untervektorraum in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine (achsensymmetrische) Ellipse im und eine bijektive lineare Abbildung mit , die keine Isometrie ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Kosinussatz.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und es seien

und

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung linear ist.


Aufgabe * (8 (4+2+2) Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit symmetrischen Bilinearformen und .

  1. Zeige, dass auf durch

    eine symmetrische Bilinearform gegeben ist, und dass dabei und orthogonal zueinander sind.

  2. Es sei die Gramsche Matrix von bezüglich einer Basis von und die Gramsche Matrix von bezüglich einer Basis von . Zeige, dass die Blockmatrix aus und die Gramsche Matrix von bezüglich der zusammengesetzten Basis ist.
  3. Der Typ der Bilinearformen sei bzw. . Zeige, dass der Typ von gleich ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine Gruppe und ein Element, und seien ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

  1. Es ist .
  2. Es ist .


Aufgabe * (6 (2+1+1+2) Punkte)

Betrachte den Würfel

Snijden kruisen evenwijdig.png


Es sei diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte und , die den Eckpunkt auf schickt, und es sei die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche und den Mittelpunkt der Seitenfläche läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge , die durch und bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von und von sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ?

d) Man betrachte die Permutation , die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale normierte -Vektorräume. Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum in der Tat eine Norm ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien endlichdimensionale -Vektorräume und es seien

Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt

haben.